精妙地解题

八 22

如果您是MO牛——请BS我。

这些是在杭州那么多天，给我留下最深的印象几道题：

1.在正奇数边形内做若干条互不相交的对角线，将其分成若干个三角形。求证这些三角形中有且仅有一个锐角三角形。
2.在一个圆周上有若干个实数，将它们染成或红或蓝，满足红数等于左右两个相邻数的和，蓝数等于左右两个相邻数的和再除以二。求证，红色数的总和为零。
3.定义f(x)满足：定义域及值域都是不为零的实数，且f(x)+f(y)=f(xyf(x+y))，求解f(x)。
4.在一个平面上对所有点任意红蓝染色，求证一定存在两个自同色的相似凸n边形，满足相似比为e^π。（自同色就是指自己的顶点都是一种颜色，两个三角形不一定要互相同色。）

答案：
1.作出这个正奇数边形的外切圆——你会发现没有一条对角线经过外心，这样的话我们就能说：覆盖了外心的那个三角形就是唯一的锐角三角形。
2.我们用S红来表示所有红数的和，S蓝来表示所有蓝数的和，S表示所有数的和。于是不难得出S红+S蓝=S；S红+2S蓝=2S。
3.可知，在条件下yf(x+y)≠1，得出f(x+y)≠1/y，令z=x+y，则y=z-x，则f(z)≠1/(z-x)，由于x可以取到任意非0实数，而f(z)一定有值，所以f(z)只能1/(z-0)。
4.在平面上做两个同心圆，且半径比为e^π。在内圆上选2n-1个同色的点，分别与圆心连接，延长交于外圆。由于抽屉原理，外圆上的2n-1个点一定有n个点同色。

这些就叫做精妙解题——解答和题目一样长。

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