证明与反驳 读书笔记 (1)
首先万分感谢网友 IF…THEN… 给我寄了5本数学方面的书！
其中最吸引我的是据说已经绝版了的《数学史通论（第二版）》，相当厚重的一本书，上数学课偷看比较困难……所以我选择了《证明与反驳——数学发现的逻辑》这本100+页的小册子。读完之后发现，这本书真是写得有情有理，里面的说教在作者精心设置的背景下（一个水平极高的数学课堂）也比较容易让人接受。
整本书的内容主要从一个大家熟知的公式——欧拉多面体公式——展开叙述：V-E+F=2，在这里V是定点，E是棱边，F是面。关于这个公式，我们本有着很多的疑问。
首先，我们凭什么认为立体图形的V，E，F之间存在着某种特殊的联系？也许，灵感来自于二维多边形的V=E——我们正是通过不同的V或者E对多边形进行了系统而细致的分类。
然后，大家通过反复的尝试（比如容易找出的五种正多面体）得到了这样的结论：V-E+F=2。有的人猜测这可能对任何的多面体成立，同时也有人去证伪这一猜想。
下面给出一个流传很广的证明：
第一步，且想像一个多面体是空心的，其表面由薄橡胶制成。我们若切去一面，便可使原先的表面平铺拉伸于黑板上而不撕裂它。此时虽然有变形，但是V与E不变，故当这个平面网状物有V-E+F=1时，我们的猜想就能成立。
第二步：现在我们把这地图分成三角形。我们在尚非三角形的多边形中连上对角线。连每一条对角线的时候我们都使E与F各增加1，因此V-E+F不变。
第三步，我们从这三角形化了的网状物中一个一个的移走三角形。为此我们可以移去一条边（减少了一个面和一条棱边），或者移去两条棱边和一个顶点（减少了一个面，两条棱边和一个顶点）。可见，若在移动一个三角形之前有V-E+F=1，那么之后也是如此。最后，对于剩下的一个三角形来说，V-E+F=1，证毕。
这是书中老师给出的一个证明（来自柯西）。但是他的学生们（水平极高）据此提出了很多自己的看法：
Delta：这似乎已经是定理了——他被确证了。
Alpha：我怀疑这个实验能否被实施于任何多面体。比如，您确定任何多面体移去一个面之后都能平铺拉伸在黑板上吗？我对第一步有些怀疑。
Beta：您肯定在把地图三角形化以后，每新添一条边都能产生一个新面吗？我对第二步有点怀疑。
Gamma：您确定在一个个地挪去三角形时，仅有去掉一条棱边和去掉两条一个顶点这两种选择吗？您甚至肯定最后只剩下一个三角形吗？我对第三步有些怀疑。
接着，Gamma便举出了一个与第三步有关的反例：他指出了一种移动三角形的方法，使得最后剩余的图形的V-E+F值变化了。
老师不得不修改下他的第三步（第二个版本）：我们在V-E+F=1不变的情况下一个个地挪走三角形。这里用了一个引理：我们的网状物中的三角形可以编号，使得按照编号顺序移去三角形直至剩余一个时，V-E+F保持不变。
但是，这个引理的正确性却不是显然的——我们甚至怀疑他是否是正确的。
老师（有点囧）：好问题——明日再讨论吧。
本文由 严酷的魔王 创作，转载或引用前请联系我们。
相关文章：
标签：图片, 漏洞, 笔记, 证明, 证明与反驳
我发现我把你顶下去了。。。。我要看数学史通论！！！！！！
回复