证明与反驳 读书笔记 (3)
Sigma：“反例”此词散发着好斗性的气味，不如用“例外”。存在三种数学命题：
“1.总为真者。此种命题不存在限制和例外，例如1+1=2.
“2.依赖于某错误原理者，故无论如何决不能承认。
“3.虽立足于真理，但仍未承认某些情况下之限制或例外者。”
注意不要把错误的定理与受制于某种限定的定理混为一谈。
Beta：这岂不是真者，绝望的错误者和有希望的错误者吗？不过和我很一致。我把我的方法命名为“例外排除法”，我要用它来精确确定欧拉猜想的有效界域：对没有空腔（如嵌套立方体对）和隧道（如画框）的所有多面体有：V-E+F=2.
老师：孪生四面体呢？
Beta：不好意思，应该改成：对没有空腔、隧道和“多重结构”的所有多面体有：V-E+F=2.
老师：你必须承认，你每一次的改进都是针对例外的修改，你如何有把握历数了所有的例外？
Beta：那么谁能给出我未考虑的例子吗？
Alpha：我的海胆呢？
Gamma：我的圆柱呢？
Beta：如果这样，我安全地画一条线：所有凸多面体都是欧拉的。
Gamma：那么我的圆柱呢？他是凸的！
老师：暂且不管那个圆柱，因为Beta的方法本身有问题。你能保证内部完全没有矛盾吗？你能保证你的撤退没有太激烈，以至于挡住了许许多多本是欧拉多面体的例子？或许我们的原猜想实在夸夸其谈，但是你的“完美化的”命题简直太过保守——却又不能保证是否同样是在夸夸其谈。
我还有第二点观点，那就是你的猜想忘记了证明——你在推测的时候似乎根本不需要证明。
Beta：我提出了一个定理，您只不过做了一通反驳他的说教。您能给出一个反例吗？
老师：你怎么知道我不会呢。你改进了原猜想，但是不能自称完善了猜想，在你的证明中达到绝对严格。
Beta：您能给出吗？
老师：我也不能，但我认为，我改进猜想的方法将会改进你的方法，因为我会在证明与例外之间建立一种一致性和真正的相互作用。我们且回到画框的问题上。这是对我的证明中第一引理的一个局部反例。首先，一移一个面，然后将其平铺拉伸在黑板上——这对画框来说是办不到的。
Alpha：有且仅有那些可吹胀成球形的多面体才能做到这一点。显然，如果一个多面体减去一面后是可以平铺拉伸在黑板上的，那么你就可以将它捏成一个圆形瓶。
老师：妙哉！现在我承认画框是一个反例，所以我抛弃了原始的猜想形式。但我们通过修改猜想的证明来得到一个修改版，即：一个简单多面体的欧拉示性数为2。一个全局兼局部的反例逼使例外排除者修改引理与原猜想，却只让我修改原猜想，不修改引理。你明白了吗？
Alpha：是的。所以我要提出反例。考虑一个立方
体，其顶上只有一个略小的立方体，他的示性数是3——他满足所有我们之前讨论过的限定。
Delta：就叫这饰顶立方体为反例6吧。
在这一段里，例外排除法终于被摒弃了。例外排除法是一个性质类似于“哥德巴赫猜想对100亿以内的偶数都成立”的结论，漫无头绪的枚举没有什么实际的意义。老师开始引导学生们向正确的方向走去，但是他们其实还会遇到很多的麻烦。
P.S:HappyTreeFriends的主题曲下载。不知道还有没有读者的血腥口味有这么重……
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我也很喜欢HTF。
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[...] 正当老师在为第三步引理破产而烦恼的时候，Alpha又冒出来声称“找到一个反例证伪您的第一引理”。如图所示： 老师：且称为反例一。 Delta：我们不能承认这个反例——他不是多面体。 Gamma：我想，一个多面体是表面由多边形面构成的立体。 老师：暂且称之为定义一。 Delta：你错了。一个多面体是由一个多边形系统构成的曲面。 老师：称之为定义二。 Delta：这样，反例一就不能称作是一个多面体。原命题还是对的。 Alpha：这里又有一个反例！请看，这是“孪生四面体”。 Delta：我们重新修订多面体定义：一个多面体是一个满足下列要求的多边形系统：（1）每一条棱上恰好有两个多边形相交；（2）从共顶点的一个多边形内的一点到另一多边形内的一点的连线不与任何一条棱相交是可能的。 老师：定义三。 Alpha：你何必不把多面体定义为满足”V-E+F=2“的多边形系统？！ Kappa：定义P。 老师：除了定义P，有谁能够举出即便最严格的定义也承认的反例？ Gamma：我能。请看反例三：星状多面体，也可以称为“海胆”。他的V-E+F=-6。 Delta：一个多面体是满足如下要求的棱边系统：（1）每一顶点都正好有两条棱相交；（2）除了顶点，棱与棱之间没有任何公共点。 老师：定义四。 Gamma：何必要第二个分句，保留第一个要求就好。 老师：定义四-2。有谁能够够举出定义四和定义四-2的反例吗？ Alpha：反例在此。一个我称之为“画框”的东西。V-E+F=2。 老师：反例四。 Beta：我觉得我们是在浪费时间！ Alpha：我这里还有一个挽救型定义：试取“隧道”——画框包围的空间——中的任意一点，穿过这点安装一个平面。你会发现任意这样的平面总与画框有两个不同的截面，造成了两个不同的完全隔开的多边形。而我们认为，一个多面体，通过空间中的任一点，至少有一个平面与该体的截面仅由一个多边形组成。 老师：这是一个隐定义，不妨称其为定义五。 Alpha：你已经变成一个可鄙的教条主义者了!!（离开教室） Gamma：我有找到一个新的怪物：圆柱体。V-E+F=0。 Delta：你的“棱”并不是棱！一条棱有两个顶点！ 老师：定义六？我认为我们应该拒绝接受Delta处理全局反例的方式。 在这一段中，我们得到了一种“证明”命题的思路：例外排除法。但是，我们可以很清楚地看到它的弊端：它既不能保证自己已经排除了所有的反例，也不能保证自己还保留着所有的正确的例子。有点像不等式证明里面的放缩法，一不小心就放缩过头了。那么，老师和剩下的同学要怎么解决这个问题呢？这里还有一个问题：我们为什么这么执着地认为V-E+F一定是2呢？句了这么多的反例，我们应该认识到，这里的“2”，有可能不具有普遍性。在接下来的笔记中，会包含有关于这些问题的详细解答。 P.S:展示一个某娜制作的很特别的钟，灵感源自Matrix67：要是我生日有哪个礼物的Geek程度达到这个就满足了～我会不会收到礼物啊…… 查看 证明与反驳 读书笔记（3） [...]