f(Program,Poet)=Programet

首先用来自维基百科的资料定义“群”的概念：

整数和运算 “+” 一起形成一个数学对象，它属于共享相似结构体貌一个广泛的类。为了适当的理解这些结构而不用个别的处理所有具体情况，发展出了下列抽象定义来涵盖上述和很多其它例子，其中之一是下面详述的对称群。群是一个集合 G，加上在一起的运算 “•”，它组合任何两个元素 a 和 b 来形成指示为 a • b 的另一个元素。符号 “•” 是给具体给出的运算比如上面的加法的占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 (G, •) 必须满足叫做群公理的四个要求:
1. 闭合： 对于所有 G 中 a, b，运算 a • b 的结果也在 G 中。
2. 结合律： 对于所有 G 中的 a, b 和 c，等式 (a • b) • c = a • (b • c) 成立。
3. 单位元：存在 G 中的一个元素 e，使得对于所有 G 中的元素 a，等式 e • a = a • e = a 成立。
4. 逆元：对于每个 G 中的 a，存在 G 中的一个元素 b 使得 a • b = b • a = e，这里的 e 是单位元。

进行群运算的次序可能是重要的。换句话说，组合元素 a 与元素 b 不必须生成同组合元素 b与元素 a 相同的结果；等式 a • b = b • a 可能不为真。这个等式在整数于加法下的群中总是成立，因为对于任何两个整数都有 a + b = b + a (加法的交换律)。但是在下面的对称群中不总是成立。等式 a • b = b • a 总是成立的群叫做阿贝尔群(致敬于尼尔斯·阿贝尔)。因此，整数加法群是阿贝尔群，但后面的对称群不是。

群的一个重要类别就是置换群。一个置换可以理解成一次有一定顺序的交换。比如a到b，b到d，d到c，c到a就是对序列(a,b,c,d)的一次置换。我们可以用f来表示一个置换规则。比如刚才那个例子就可以表示为f:(a,b,c,d)->(b,d,c,a)。我们将由置换作为元素的群称做置换群。比如序列(1,2,3)的置换共有六个，他们分别是：

(1,2,3);(2,3,1);(3,1,2);(1,3,2);(3,2,1);(2,1,3).

为了方便起见，将他们分别命名为I,a,b,x,y,z。再定义运算“伴随”，用符号“ • ”表示。其中任意两个置换A和B的伴随运算就是将A中的元素按照B的置换方式进行运算，例如：s1 • s2=(2,3,1) • (3,1,2)=(1,2,3)=I。还可以用OI知识理解：这里的s2的序列表示的是地址序列变化规则，不是内存中指针对应的数值。（我有点怕有人看不懂诶……）

下面我们要利用上面的材料鼓捣出一个置换群。群的关系可以用表格来演绎：

•–I–a–b–x–y–z

I–I–a–b–x–y–z

a–a–b–I–z–x–y

b–b–I–a–y–z–x

x–x–y–z–I–a–b

y–y–z–x–b–I–a

z–z–x–y–a–b–I

上表就是我们置换群。很容易验证他们都满足群的定义。

下面是另一个比较好理解的定义：两个结构相同的群被称为是同构的。举一个简单的例子就好了。首先看由代数乘法和{1,-1}构成的群：

* 1 -1

1 1 -1

-1 -1 1

这是一个群。下面我们可以构造一个与此同构的置换群。定义s=(1,2),t=(2,1),运算为“ • ”，则有：

•–s–t

s–s–t

t–t–s

发现了吗？他们确实是同构的！
其实我们有一个凯莱定理：每一个群，不管其元素与元素之间的运算，都是一个置换群的“翻版”——也就是说同构。这个定理告诉我们：只要研究置换群，就等于研究了所有的群。
pan>

好了，基础知识预备完毕。下面我们看看一个有趣的人类学问题。

在一个澳洲土著部落凯瑞拉中发现了极其复杂的姻亲系统，让人类学家非常困惑。每个凯瑞拉人都属于4个宗族之一：班那卡，凯瑞莫拉，布瑞和帕雷瑞。人类学家发现了如下的规则：

1.一个班那卡人只能与一个布瑞人结婚。

2.一个凯瑞莫拉人只能与一个帕雷瑞人结婚。

3.一个班那卡男人和一个布瑞女人的小孩是帕雷瑞人。

4.一个布瑞男人和一个班那卡女人的小孩是凯瑞莫拉人。

5.一个凯瑞莫拉男人和一个帕雷瑞女人的小孩是布瑞人。

6.一个帕雷瑞男人和一个凯瑞莫拉女人的小孩是班那卡人。

有没有头晕……人类学家倒是比较囧。于是一位人类学家询问了一位数学家，希望能够给出一种指导性的方法，用来抽象一点——清晰一点地表示这个复杂的联系。那位数学家成功了，他使用的正是群论。我们做一些预备工作。将四个宗族分别表示如下：

A=班那卡，B=凯瑞莫拉，C=布瑞，D=帕雷瑞

上述的婚姻规则1和2就是就是AC结婚，BD结婚，于是我们可以构造一个映射：f=(A,B,C,D)->(C,D,A,B)。注意这里有f•f=I（这里的I是单位元(A,B,C,D)）。再根据后裔规则3～6发现孩子的宗族其实可以由父系或母系的宗族来决定。于是定义父系规则：p=(A,B,C,D)->(D,C,B,A),m=(A,B,C,D)->(B,A,D,C)。再次发现p•p=I,m•m=I。同时，我们还可以得到，以上三个置换任意两者之间的运算都会生成第三者（如f•p=m）。下面就是这个群的“乘法表”：

•–I–f–p–m

I–I–f–p–m

f–f–I–m–p

p–p–m–I–f

m–m–p–f–I

现在发现了么？这个表其实可以用来描述一类抽象的群，这类群有三个元素，其中每一个都是其自身的逆，任何两个的结合又能得出第三个。为了用实例简单证明凯莱定理，我可以提出一个和这个宗族置换群同构的非置换群。

考虑一个非常普通的旋转群。比如一个立方体。

X:围绕X轴旋转半周

Y:围绕Y轴旋转半周

Z:围绕Z轴旋转半周

I:立方体不动

读者可以亲自检验，这个群和前面的那个置换群是不是同构的。

本文由 严酷的魔王 创作，转载或引用前请联系我们。

相关文章：

1. 晒：统计推理读书报告——关于概率的思考

标签：智慧, 笔记, 组合

2009年1月30日 星期五