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今天早上趁着大家还在床上挣扎，我悄然来到书城三楼的那个阴暗的角落，那里藏着一沓大众不会问津的黄卷——《陶哲轩实分析》。上次来到书城，天色已晚，匆匆翻了几页，发现这是唯一一本我不情愿跳着阅读的教材。

这本书是由陶哲轩在加州大学给本科高级数学班上课用的讲义汇集而成的。不同于以往的分析学教材简要的回顾数系、函数、集合等概念，陶带领他的学生们从最原始、最基本的公理、定义出发，通过严格的数理逻辑把那些我们看起来十分显然的定理、命题逐步推倒出来。形式上，这相当枯燥、单调甚至有点让人抓狂，但这对建立对数的感觉、对严密逻辑能力的提升是大有裨益的。按陶的叙述，在最开始的时候，他的高级班的进度是远远落后于非高级班的进度的。当他的学生还在为用数学归纳法去证明结合律时，非高级班已经在讨论级数的收敛liao。后来的事实是，在讨论完这些最基本的概念、问题后，陶的高级班是以几何增长的速度赶上了非高级班，并在学习Taylor级数时超越了非高级班。

在这里我只给出关于这本书的一些大概情况（如上所述），还有自然数的公理体系，以及由此对交换律的证明（就当是我今天的家庭作业）。

Peano自然数公理体系
公理一 0是自然数。
公理二 若n为自然数，则n++为自然数。
公理三 0不是任何自然数的后继。
公理四 若(n+1)≠(m+1),则m≠n。
公理五（归纳法） P(0)是关于0自然数0的性质的命题成立，若假设P(n)成立时可以推导出对P（n++)也成立，那么对于所有自然数P均成立。

下面要用以上公理、加法的定义对加法结合律和加法交换律进行证明。

加法定义 n,m为自然数，定义0+m:=m(在没有证明加法交换律的情况下它与m+0:=m是完全不一样的）；(n++)+m:=（n+m)++.

命题 a+(b+c)=(a+b)+c,其中a,b,c为自然数.
证明 固定b,c。当a=0时，0+(b+c)=b+c=0+b+c=(0+b)+c，成立；假设当a=n时命题成立，即n+(b+c)=(n+b)+c，则a=n++时，(n++)+(b+c)=(n+(b+c))++=((n+b)+c)++=((n+b)++)+c=(n++)+b+c=((n++)+b)+c.则对所有自然数都有a+(b+c)=(a+b)+c.

命题 (a++)+b=a+(b++),其中a,b为自然数。
证明 固定b。当a=0时，（0++)+b=(0+b)++=b++=0+(b++)，成立。假设当a=n时命题成立，即(n++)+b=n+(b++)，则a=n++时，（(n++)++)+b=((n++)+b)++=(n+(b++))++=(n++)+(b++).则对所有自然数都有(a++)+b=a+(b++)。

命题 a+b=b+a,其中a,b为自然数。
证明 首先证明0+m=m+0:
当m=0时，0+0=0=0+0成立；
假设当m=n时命题成立，则m=n++时，即有0+n=n+0，0+(n++)=n++,又n++=(n+0)++=(n++)+0,所以0+(n++)=(n++)+0成立，所以对于任一自然数m,有0+m=m+0;
现在证明a+b=b+a:在这里固定b。当a=0时，即0+b=b+0，成立；假设当a=n时命题成立,即有n+b=b+n,那么a=n++时,(n++)+b=(n+b)++=(b+n)++=(b++)+n=b+(n++).则对所有自然数都有a+b=b+a.

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2009年5月1日 星期五