话说我的数分已经起步了，上到了极限。当年我自学的时候没能够认真体会到极限的精髓，导致我对极限的概念就成了四则运算+洛必塔法则……我对极限的认识的升华来自于教材上的一道求极限的习题：

\lim\limits_{n\to\infty}((n+1)^{\alpha }-n^{\alpha} ),0<{\alpha }<1

其实第一眼看过去就能大概猜出答案：0.但是要如何去证明呢？当\alpha =\frac{1}{2}的时候，可以分子有理化达到目的。但是这个方法在此显然行不通。我想了蛮久，终于在写C语言作业的时候想到了解法。我的方法还是模仿那个特殊情况的，作了如下处理：

((n+1)^{\alpha }-n^{\alpha})*((n+1)^{1-\alpha }+n^{1-\alpha})=1+(n+1)^{\alpha }n^{1-\alpha}-(n+1)^{1-\alpha }n^{\alpha}

我到了这一步就被卡住了一会儿，因为目的就是够造出像特殊情况时分子可以有理化为常数的那个形式，终于想到应该如何放缩这个式子，即利用下面这个不等式（似乎应该自己证明，没有什么名字命名）：

x^{p}y^{q}-x^{q}y^{p}<x-y,其中p+q=1,x>y

然后就好办啦，最后得到原式右边<2，证毕。

我其实是挺喜欢我的证明方法的，下午教授的类习题课讲了另外一个不比我这个简单的证明方法，但是其中的一个东西让我对极限有了新的认识，所以可以说他的证明对我更有价值。

前几天sqybi牛在校内（我就是不叫你人人怎么样）上发了一条状态，想找到不需要导数的证明伯努利不等式的方法。这个我当时是不会做的，但是现在我会了。

我的教授的证明方法就是使用了伯努利不等式作为引理。先看看伯努利不等式的形式（其实是一部分）：

(1+x)^{\alpha}<1+{\alpha}x,0<{\alpha}<1

我们先证明这个不等式——保证只使用极限以及自然数的各种定理，绝对不会出现导数。

先设\alpha为有理数，即

\alpha=\frac{m}{n}

则

(1+x)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(1+x)^{m}*1}\leq\frac{m(1+x)+(n-m))}{n}=1+\frac{m}{n}x

证毕。

那么接下来就是难点：如果\alpha是无理数怎么办？极限要上场了。首先又是一个定理（可以理解成为了证明第一个引理而存在的引理- -||）：

a>0,\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=b

则有

\lim\limits_{n\to\infty}a^{x_{n}}=a^b

这个我就不证明了，难打字。那么到这里，我们应该就能够看出一点苗头了。极限是一个相当美妙与强悍的将有理数与无理数紧密联系在一起的工具。下面证明伯努利不等式。首先可以看出，存在有理数列\{a_n\}使得

,\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\alpha

从而有

(1+x)^\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}(1+x)^{a_{n}}\leq\lim\limits_{n\to\infty}(1+a_{n} x)

由于

\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\leq\lim\limits_{n\to\infty}b_{n}\leftrightarrow a \leq b

（大家大可以把这个当作第三个引理），所以可以得到

(1+x)^{\alpha}<1+{\alpha}x

综上所述，证毕。

到此引理得证了，sqybi牛的心愿也了了。最后罗嗦一句把书上那道习题给证完——只需要下面这一步了：

(n+1)^\alpha-n^\alpha=n^\alpha{[(1+\frac{1}{n})^\alpha-1]}\leq n^\alpha{[1+\frac{\alpha}{n}-1]}=\frac{\alpha}{n^{1-\alpha}}

至此证毕。

在这里极限终于让我明白有理与无理都不是界限，在某些情况下真是比求导更方便了。而且极限的一些结论一直游走在直观与令人惊叹之间，让我还不能好好掌握……

PS:这是我第一篇所有公式都使用\LaTeX进行排版的文章，本来是想练习一下，因为以后写论文什么的肯定会用到，不过亲自体验一下后发现这个东西真是科学严谨，难说以后我会发展出\LaTeX癖- -。但是我还是担心一个网页的图片太多会导致访问速度太慢，正如煎蛋所谓的“多图杀猫”……所以如果有读者觉得速度太慢可以在下面留言告诉我。

Update：教授后来给出了一个非常简单的证明……请大家BS我。主要部分如下：

(n+1)^\alpha-n^\alpha=n^\alpha{[(1+\frac{1}{n})^\alpha-1]}\leq n^\alpha{(1+\frac{1}{n}-1)}

这个原理相信大家都能够明白~

本文由 严酷的魔王 创作，转载或引用前请联系我们。

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2009年9月27日 星期天

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