无穷中的二分（二） | f(Program,Poet)=Programet

原创博文, 数学

十 21

无穷中的二分（二）

严酷的魔王

话说老师自从上次使用了二分之后，貌似就上瘾了。他很令人赞赏地没有照本宣科，而是讲了一串课本末尾的附录，即实数的连续性啊，紧致性啊，完备性啊之类的比较基础的内容。其中有一个有界性定理说的是这样一个东西：一个连续函数 $f(x)$ 在区间 $[a,b]$ 上是有界的。这个东西老师给出了两个证明方法，都不是“显然”的方法。有些内容是上一篇里面说过的，没有看过的童鞋可以先去瞟两眼。

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先看看第一个方法：居然又使用了二分法。这里是用反证的，假设其无界，那么二分之——即一直选取无界的那个区间，顺便得到了一个区间套和那个被套住的唯一的 $r$ 。既然 $f(x)$ 在 $r$ 处连续，则肯定有定义。

对于 $\varepsilon=1$ ，存在一个 $\delta$ 使得 $|x-r|<\delta$ 且对 $x\in[a,b]$ 有 $|f(x)-f(r)|<1$ 。所以可以推出

$|f(x)|\leq|f(r)|+1,x\in [r-\delta,r+\delta]\cap[a_n,b_n]$ 。

但是现在仍然没有明显的矛盾。于是我们继续，不难得到，

$\exists N,n>N$ 可推出 $[a_n,b_n]\subseteq[r-\delta,r+\delta]$ ，

所以

$|f(x)|\leq|f(r)|+1,x\in [a_n,b_n]$ ，

所以 $f(x)$ 在任何一个 $[a_n,b_n]$ 上都有界，矛盾了~

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第二个方法就比较简洁了，因为用了魏氏定理，等于是间接二分了一下。

同样反证之，那么对于任意的 $M\in N$ 肯定存在 $x_M$ 使得 $f(x_M)>M$ 。

则得到数列 ${x_M}$ 满足

$\lim \limits_{M\to \infty}f(x_M)=\infty$ 。

另外， $x_M\in[a,b]$ ，所以 ${x_M}$ 是有界的，由魏氏定理可知数列 ${x_M}$ 中必有一个收敛子序列，记为 ${y_m}$ 好了，如果 $\lim\limits_{m\to \infty}y_m=r$ ，那么会出现两个奇怪的式子：

$\lim \limits_{m\to \infty}f(y_m)=\infty$ 且 $\lim \limits_{m\to \infty}f(y_m)=|f(r)|$ 。

所以得出了矛盾~

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PS:课本上称呼魏氏定理为波尔察诺-魏尔斯特拉斯紧致性定理，其实与区间套定理是等价的。但是课本给出了区间套定理的非魏氏定理证明法，却没有给出魏氏定理的非区间套证明法……看来一旦瘾上了二分还真难改掉啊~同时，一旦瘾上了 $\LaTeX$ 也真难改掉啊……我发觉我有 $\LaTeX$ 癖了……

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标签：思维, 智慧, 证明, 趣题

2009年10月21日星期三

4条评论

2009年10月22日星期四 9:16:48

嬉嬉娅说：

梨花体…我看不懂诶…太学术了…不过还是恭喜您逃脱美捏老司的阴影..HOHO

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2009年10月22日星期四 18:10:41

Malloc 说：

不错不错，想到一块去了。

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2009年11月2日星期一 7:27:32

ivan 说：

你用的LaTeX?什么插件？
我使用mimetex.cgi，感觉效果不是很好。

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严酷的魔王
2009年11月2日星期一 13:31:06

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似乎是WP LaTeX，主页在这里：http://automattic.com/code/

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