素数有无穷多个的另类证明（一）：两两互素的无穷序列

十一 15

素数有无穷多个的另类证明（一）：两两互素的无穷序列

因为我们的C语言老师非常民主，所以当他问我们想不想期中考试的时候我们都喊“不想”，所以不考了。但是他居然说，根据计算成绩总评的公式，里面有一项“期中成绩”，所以只好把期中考改成一个C语言实验报告……大家遂绝倒。我想了一下，决定用素性检验和生成素数为报告的主题——反正从加减乘除到抽象代数的方法都有，难度弹性大得真好~于是乎今天下午去图书馆转悠了一下，一是为了解决海量的线性空间作业，二就是为了找一下我能够接受的这方面的材料。然后我就看到了一本书：《博大精深的素数》（刚才我才发现原来我很久以前在豆瓣上面标记过这本书- -）。里面讲的内容正是我所需要，不过全书最让我喜欢的是第一章：因为里面居然有十二个对“素数有无穷多个”的证明！其中有最基础的算术方法证明，也有涉及到极限的证明，还有利用代数数论和拓扑学的证明~说实话最后两个证明我完全不知道在说什么……不过，我会把我明白了的证明逐一地介绍给读者——欧几里德的那个素数连乘法以及略微变换了一下的 $N!+1$ 法等类似证明我就不在这里介绍了，有兴趣的可以去维基学习一下。

下面我将要给出的这个证明来自于一个身份很特别的数学家：哥德巴赫。我记得某天zxy跟我说哥德巴赫估计除了那个猜想什么贡献也没有。结果今天我终于看到了一个他写出来的证明——不过书上的评价是“这也许是哥德巴赫写出的唯一的证明”……

这个简洁而优美的证明思想大概是这样的：如果我们找到了一个自然数的无穷数列 $1<a_1<a_2<\cdots$ ，其中任意两项互素——则没有两个数字有相同的素因子，那么令 $p_i$ 为 $a_i$ 的某一个素因子，则 $p_1,p_2,\cdots$ 彼此不同，则素数就有无穷多个！那么现在重点就是设法找到这样的一个数列。哥德巴赫找到的数列是非常有名的费马数 ${F_n}$ 。即 $F_n=2^{2^n}+1$ 。证明这个数列两两互素很简单： $F_m-2=F_0\times F_1\times F_2\times\cdots\times F_{m-1}$ ，所以当 $n<m$ 时有 $F_n|(F_m-2)$ ；但是如果有素数 $p$ 同时为 $F_n$ 和 $F_m$ 的因数，那么它肯定同时为 $F_m$ 和 $F_m-2$ 的因数，从而 $p=2$ ，可惜费马数都是奇数，所以证毕。那么数列找出来了，原命题也就证毕了~

问题解决后，我们不妨把目光放得远一点：还有没有其他的不利用无穷多个素数这个性质的无穷互素数列？答案是有的。可以证明如下定义的数列满足要求：若S0和a是互素的整数，且 $S_0>a>=1$ ，则满足 $S_n-a=S_{n-1}*(S_{n-1}-2)$ 的数列 ${S_n}$ 是两两互素的——因为可以得到 $S_n=S_{n-1}\times \cdots \times S_1\times (S_0-a)+a$ 。可以看出，如果 $S_0=3,a=2$ ，那么我们就又得到了费马数！

还有另外一个构造方法：令 $f(x)$ 是一个非常数整系数多项式且满足 $f(0)\neq0$ ，并且需要满足如果 $n$ 和 $f(0)$ 互素，则 $f(n)$ 和 $f(0)$ 必然互素这个性质。那么函数迭代地构造， $f_1(x)=f(x),f_m(x)=f(f_{m-1}(x))$ ，则 $n,f(n),f_2(n),\cdots$ 必然两两互素。比如 $f(x)=(x-1)^2+1$ 满足上述条件,那么 $f_n(-1)$ 又变成了费马数列！

我会慢慢将其他漂亮而奇异的证明展现给大家~下一篇应该是欧拉的证明。

本文由严酷的魔王创作，转载或引用前请联系我们。

标签：智慧, 证明, 趣题

2009年11月15日星期天

6条评论

2009年11月15日星期天 21:47:14

嬉嬉娅说：

hoho~~~~通俗一点嘛

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严酷的魔王
2009年11月15日星期天 23:44:03

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好通俗了的啊

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2009年11月15日星期天 22:06:30

寺雷颠说：

哥德巴赫找到的数列是非常有名的费马数{F_n}。即F_n=2^{2^n}+1。

这句话让我想到两个字：易得。。。- -

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严酷的魔王
2009年11月15日星期天 23:45:17

回复：
你中毒太深啊……

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2010年3月21日星期天 23:59:31

allenfantasy 说：

易得。。。某姜

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严酷的魔王
2010年3月22日星期一 23:40:54

回复：
某姜- -我懂的

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