素数有无穷多个的另类证明（二）：素数的某个求和式

十一 16

上一个证明是哥德巴赫给出的，而现在我要给一个和他同时期的人的证明——但是这个证明和哥某的相比，非常的有创造力。那个时代能拥有这样的思路的人，当首推欧拉。确实，这个证明是欧拉给出的。同时，这个证明有着极大的价值，因为引出了很多很多数学上的重要发展。

先来说说正题，就是这个证明本身。欧拉设想，如果涉及到所有的素数的某个表达式的值是无穷大，那么素数的数量应该是无穷多的。他考虑了下面的式子：

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p_i^k}=\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$

其中 $p_i$ 是第i个素数，因为任意素数大于1，所以上式是显然成立的。对于另外一个素数同样有

$\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{p_j^k}=\frac{1}{1-\frac{1}{p_j}}$

那么将两个式子相乘则得到下面这个式子：

$1+\frac{1}{p_i}+\frac{1}{p_j}+\frac{1}{p_i^2}+\frac{1}{p_ip_j}+\frac{1}{p_j^2}+\cdots=\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}\frac{1}{1-\frac{1}{p_j}}$

显然，左边的式子是所有可以表示为 $p_i^ap_j^b$ 这个形式的自然数，其中 $a,b$ 是大于等于0的自然数，显然，这些自然数都不相等。好了，这样似乎可以看出一点苗头了。假设素数有 $n$ 个，那么由唯一分解定理可得到下面这个式子：

$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}=\prod_{i=1}^{n}(\sum_{k=0}^{\infty}\frac{1}{ p_i^k})=\prod_{i=1}\frac{1}{1-\frac{1}{p_i}}$

只要看出左边的等号成立的原因即可理解了。因为 $\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i}=\infty$ ，所以所有的素数的这个表达式的乘积为无穷的——显然，只有素数是无穷多个的时候才能达到这个目的，因此证毕。

但是，这个证明有点奇怪，因为似乎我们用了很多很高深的东西才把这个看起来很基础的玩意给证明出来。但是这个证明有其独特的意义。这个公式将Zeta函数和素数联系在了一起:

$\zeta(\sigma)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{i^\sigma}=\prod_{i=1}\frac{1}{1-\frac{1}{p_i^\sigma}},(\sigma >1)$

然后牵扯出了各种各样的奇形怪状的东西，在这里显然不可能讨论那么多……我所知道的也只是几个结论而已，想知道的读者可以留言或者mail我——但是技术细节我就不得而知了……

下次给出的证明将是非著名数学家的成果，风格迥异~

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标签：智慧, 证明, 趣题

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