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这个标题的“拓扑”两个字可能会吓到人——其实我看书的时候就吓到我了~这个证明的作者是Furstenberg（我不确定是不是我给出的维基链接的那个人），他在1953年给出了一篇短文，现引用原文如下：

在这篇短文中我们将对于素数无穷性给出一个初等的“拓扑”证明。我们在整数集合S中，取所有算数级数的基，S可成为一个拓扑空间。事实上，对于这个拓扑，可以证明S是正则空间，并且是可距离化的。每个算数级数是又开又闭的集合。因为它的补集是具有同样公差的其他算数级数的并，于是，任意有限个算数级数的并也是闭集。

对素数，令是的全部倍数组成的集合。现在考虑集合，其中取遍全部素数。则是不在中的整数。由于{1,-1}显然不是开集，从而不是闭集。这表明素数有无穷多个。

不知道读者怎么看这段“原文”，反正我很晕乎……经过努力后终于弄懂了大概意思，所以我将在下面对此进行逐句的解释。

首先，算数级数就是等差数列，我们不妨从线性空间里面学到的基的定义拓展一下，等差数列的基就是能够结合参数表示出等差数列的“产生元”，那么可以这样定义：就是等差数列，其中(a,b)是一个基——因为当我的n作为参数取遍所有整数的时候，可以根据固定了的a和b得到一个等差数列，其中a是公差，b是一个起点。另外，当a和b取遍整数集时，必然可以取到算数级数的所有的基。

拓扑空间的定义可以参阅维基百科上的资料，而对这个命题真正重要的其实是开集和闭集的概念（这里的开集和闭集并不是如同熟知的数轴上区间开闭的定义），所以在这里我就忽略掉“正则空间”等装B字眼。

我们的讨论是在整数集上进行，所以可以这样定义开集：

开集属于整数集且对于开集中的每一个整数b，总能够找到一个合适的公差a，使得仍然属于该集。

显然，在这里所有的开集都是无限的——除了空集{}。比如，{…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,…}就是一个开集，对于其中的每一个整数（奇数），我们总能找到固定的a=2使得扩展出来的等差数列属于原集合——其实是等于原集合了。又比如，{……,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,……}这个集合，直观规律是每两个数就跳过一个数。那么我们也可以找到公差a=3，那么也能够证明此集合是开集。

闭集的定义就简单了：一个开集对于整数集的补集。比如上面的例一中开集的补集就是闭集，即偶数集。

好了，定义到这里，我们可以解释第一段的最后两句话了。根据定义可得每一个算数级数显然是开集，然而它的补集也是一个开集，则它本身又是一个闭集——那么可得每一个算数级数是又开又闭的集合。那么要证明“任意有限个算数级数的并也是闭集”，我们只需证明任意有限个闭集的并也是闭集。借助德摩根定律，就相当于他们的补集的交集的补集(有点绕口啊~)，即。他们的补集显然是开集，那么如果开集的交集仍然是开集，那么就是闭集了。现在假设A和B是两个开集，那么假设有和分别属于A和B，那么显然可以找到一个e，使得e属于交集，同时可以看出属于——所以得到开集的交也是开集。综上一大段所述，闭集的并也是闭集。可以将上述结论推广到有限多个开(闭)集的交(并)集。

上面一大段可以总结为一句话：有限多个闭集的并集仍然为闭集。

关于“拓扑”的知识已经铺垫完了，下面我们开始进入正题。等价于这个集合：。那么令p取遍所有的素数，得到了一个集合A。由定义得到A的补集就是{-1,1}。假设素数是有限个的，那么由“闭集的并也是闭集”可以得到A是一个闭集——那么A的补集是一个开集，但是开集要么为空，要么为无穷集合。所以矛盾，证毕。

虽然说这个证明号称为拓扑学的证明方法，但是有点“浅尝辄止”的感觉，倒更像一次对德摩根定律的巧妙应用——不过似乎切入点仍然是从拓扑中对“开集”与“闭集”的定义得来的。这次看上去有点风马牛不相及的结合让我感到非常神奇，非常牛B~

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2010年1月25日 星期一