离散上集合论终于上到激动人心的时刻了：无限集合。想当年我比现在还稚嫩的时候，第一次觉得数学神奇就是在领略无穷的时候。其实我蛮喜欢这个离散老师的，因为他还保持着对数学的一点点激动，说到选择公理和罗素悖论的时候显得蛮兴奋的~不过有很多东西在课上不能展开来说。今天他在作业里面加了一道附加题，意思就是让我们证明(0,1]\times (0,1]和(0,1]是等势的，也就是说我们能找到一个从(0,1]\times (0,1]到(0,1]的双射。这个直观上还是有些难以想象：一块面和一条线段会相等吗？我上课的时候就在思考这个问题，想了挺久，然后得到了一个比较复杂的方法。

这个双射的难点就在于，我必须要有办法从z还原出两个不重复的值。可惜我十几分钟都没有想到怎么使用初等函数够造出这样的函数(- -|||)，于是我决定换一个角度来思考这个问题。

受到经典的对角线法的启发，我突然想到可以尝试逐位讨论小数点后的数字。于是，一个大概的雏形就出来了：记

x=0.x_1 x_2 x_3 \cdots,y=0.y_1 y_2 y_3 \cdots 。

那么我令

z=0.x_1 y_1 x_2 y_2\cdots，

这样我们就可以从z还原出x和y了。不过现在多了一个问题：如果

z=0.x_1 0 x_2 0 x_3 0\cdots，

那么我们就还原出了

y=0.000000=0，

那这个实质上就是 [0,1] \times [0,1]而不是(0,1]\times (0,1]上的点了。那么我们索性定义x,y是属于[0,1]\times [0,1]，这样映射出来的z就属于[0,1]。如果我们能够再找到一个双射从 [0,1] \times [0,1]到(0,1]\times (0,1]，另一个双射从[0,1]到(0,1]，那么我们就可以传递式地得到一个从(0,1]\times (0,1]到(0,1]的双射。

这两个双射都是比较好构造的。先看一维的那个吧，因为二维的要用到它。这个双射可以定义为一个分段函数:

f(0) =\frac{1}{2},f(\frac{1}{n})=\frac{1}{n+1},(n\geq 2),f(x)=x。

这样就ok了。那么二维的双射呢？只需要将(x,y)映射到(f(x),f(y))就好了，定义这个映射为F(x,y)。再令之前的二维到一维的函数为G(x,y)，则我们所要求的映射

M(x,y)=f(G(F^{-1}(x,y))))，

意即

(0,1]\times (0,1]\leftrightarrow [0,1]\times [0,1]\leftrightarrow [0,1]\leftrightarrow (0,1]

显然这是一个双射。终于达成~

其实我觉得这个是不是复杂了？感觉一定会存在一个很巧妙的分段函数……应用到了z的某一个性质，能够分解成两个唯一的数的关系。可能是在一个方程中设立两个参数，让参数与方程的解对应起来……恩，坐等老师的想法，估计半个月后更新。读者有什么想法也在下面留言吧~

本文由 严酷的魔王 创作，转载或引用前请联系我们。

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2010年4月29日 星期四

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