f(Program,Poet)=Programet

不知道大家在KTV除了唱歌还会玩些什么呢？话筒只有两三个，但是人却有十多只，应该有很多人玩三国杀、UNO之类的桌游，不过我想也会有些人玩骰子喝酒的吧。至少在我的朋友圈里面，这些都是KTV里面的主要活动。三国杀什么的我今天就不讨论了，让我琢磨了一番的是那个骰子的小游戏。可能大家玩的规则大同小异，我先向没玩过的读者叙述一下最主要的游戏规则。

一般这个游戏在2~10人之间依次进行（理论上说没有人数的上限，但是我最多好像也没有和超过10人玩这个游戏）。每个人手中都有相同数量的骰子，一般是4~6个，开始之前摇一摇~每个人只能看见自己的骰子点数。接着从某一个人开始——一般是上一局输了的人，第一个人要做的就是叫点数，格式是“X个Y”，意思就是你认为在所有玩家的骰子中至少有X个点数为Y的骰子，比如有人叫“6个3”，那么就是说他相信在这些玩家手中至少有6个骰子滚出了3点，其中X不能小于玩家数。每一个玩家叫完点就轮到下一个，此时下一个玩家有两种选择：继续叫点数或者是选择“开”。继续叫点数的规则如下：X不能小于上家的X；如果X比上家的大，那么Y只要是1~6就行了；如果X与上家的相等，那么Y就要大于上家的Y（规定此时1>6>5>4>3>2）。比如我的上家叫了5个4，那么我就可以叫5个5，5个6，或者6个2之类的。这个规则和升级或是桥牌中的叫主牌规则有点类似吧~如果玩家不继续叫点数，而是选择了“开”，那么他的意思就是不相信上家叫的数量，这时候所有的玩家都展示自己的骰子点数，清点一下现在的情况是否满足上家叫的数量，如果满足了，那么开的人就罚一杯酒，反之被开的人就被罚。

为了游戏的趣味性，规则当中还添加了一条十分重要的内容：点数为1的骰子可以当成任意点数——除非有人叫了“X个1”。这样一来如果我的手中有2个1点，1个3点，2个5点，那么我就相当于有3个3，同时又有4个5！——除非有人叫了“3个1”或者“5个1”之类带1的点数。这样一来变化就丰富了，即使两个人玩，你也不能马上猜到对方手中大概的点数分布情况。

规则就是这样，下文的分析都以没有叫“X个1”的情况为准。先举一个例子来说明一下游戏流程，免得有人看不懂我上面的描述- -同时下文也将以此进行分析。

假设3个玩家A，B，C，每个人手中有5个骰子。A手中是1,1,3,4,6；B手中是1,2,5,5,5；C手中是2,3,3,4,5。从A开始叫点数。

A：（其实3，4，6都可以，随便选了一个）4个3

B：（自己只有1个3，换一个数字探探C的手风如何）4个5

C：（一般犹豫一下）5个3

A：（见C好像也有3）6个3！

B：（见自己手中只有一个3——1此时可以当作3来看，于是一般犹豫一下）开！

（然后一清点，A手中有3个3，B手中有1个，C手中有2个，加起来正好6个，于是B杯具）

这正是比较典型的一局。理解了游戏流程后，我想提出的问题是：我们有哪些对自己有利的策略呢？

我们把复杂的心理学之类的问题忽略掉，那么这个游戏自然转化成了一个概率问题。假设一共有n个人在玩这个游戏，每个人手中有m只骰子，那么每个点数的平均数量就是m*n/6，再加上点数为1的数量，每个点数的平均数量应该是m*n/3。当我们在玩游戏的时候，自己手中的骰子点数是已知的，那么未知的点数平均数量就应该是m*(n-1)/3。再加上你手中该点数的实际数量，就得到了这个点数的数量期望。

如果假定骰子的点数满足二项分布（即只有是或者不是两种情况），那么可以计算得到：对于m*(n-1)<=61的情况来说，某点数的实际数量更有可能在期望±2个的范围内出现；当m*(n-1)<=22时则更有可能在期望±1个的范围内出现。这个震荡幅度的估计有助于我们进行叫点数时的决策，特别是第一个叫点的人，此时没有其他人的叫点信息，一般也观察不到什么《Lie To Me》等级的暗示，于是他只能通过数学的计算来给自己大概选择一条出路。——不知道有没有人会联想到，其实这个震荡幅度正是一个<50%的置信区间~只不过我们使用的模型改变了，从一个连续的模型（t-分布）转变成了一个离散的模型（二项分布）。通过对这个区间的掌握，我们可以更精确地控制叫点数的范围以及在一定程度上判断继续叫或者开。

在上面所举的例子中，n=3,m=5。对于A来说，3的数量期望应该是3+5*2/3约为6.3，而m*(n-1)=10<22，所以3点的数量更有可能出现在5~7之间，A如果叫5，假如B叫6，C叫7，A就比较难以决策了。所以A选择叫4点，虽然保守，但是不会导致轮一回转到自己的时候出现让自己尴尬的场面。注意到游戏每一次只会有一人受罚，所以说我们为了避免被罚，应该更多地考虑如何让自己叫到一个安全的点数而不是叫到一个正好踩线的点数。

以上便是数学层面的简单分析。但是只要是有人参与的游戏都不可死板地套用公式，人和人的较量总是会让局面变得更加难以控制。比如上例中B如果故意“错叫”了5个3，那么C可能以为A和B都有很多的3点，于是可能跳过6直接叫7个3，那么不是A杯具就是C杯具——如果A不开继续往上叫无疑就中了B的陷阱，B自然不会继续叫下去。也有可能A大胆往上叫第一下就直接开出6个3，B这时候就两难了。站在局外人的角度来看，B根据自己的骰子情况应该选择开，但是如果往上加一个变成7个3，反而会引诱C继续往上叫。恩……博弈论神马的好像准备冒泡了……打住。
我的简单介绍就到这里，任何游戏都还得亲自上阵，纸上谈兵都是没用的~希望大家玩得开心~

P.S:这篇文章中我给出了一个生活中的例子，其中小小地应用了一下置信区间，于是干脆就划分到了这个系列之中。另外我今天下午的6人5骰局就半个小时都没有被罚~当然其实这也和我上下家有点关系……上家是一个永远都8个9个起叫或者6个7个也开的傻孩子，下家是一个无论我叫什么都继续叫的傻孩子……笑~

本文由 严酷的魔王 创作，转载或引用前请联系我们。

相关文章：

1. 统计与推理(2)：置信区间
2. 统计与推理(1)：描述性统计
3. 不可思议的箱子：你的一生就在里面
4. 无穷中的二分（一）
5. 从(0,1]×(0,1]到(0,1]的双射

2010年8月5日 星期四