你知道吗？每年诞生上万部电影，但电影的总数却如同石油一般是有限的。不仅是电影，书籍、音乐甚至你的人生都是如此。难以想象？让本文告诉你这是为什么。

如果有人说，你的一生其实就如同被装在一个箱子里面，你会相信吗？你的一生，不会像广告所说的那样“精彩无极限”，我们每天能看到的图像和听到的声音，其可能性其实只是有限多种。

这是为什么？让我们先从电影说起吧。

图像

每个人都或多或少都看过一些高清电影，比如说一部1080p（1080p:垂直方向1080行逐行扫描合成一帧图像）的《致命魔术》。它的分辨率为 1920*1080，也就是说这样的一部电影中的任意一个镜头都含有2073600≈2.1M个像素点。在常用的视频格式中，这样的画质非常清晰，完全能够满足视觉要求。另一方面，科学研究表明，人眼能够辨识大约一千万种颜色。让我们做一个合理而宽泛的假设：每一个像素都有可能呈现出这么多种颜色，那么通过数学计算可以得知，存在且仅存在 种不重样的静态图像。不论是前年的《变形金刚》绚丽剧照还是十年后的菲利普奖的获奖作品，都包含在内。

而在电影视频及数字视频上，每一帧都是静止的图像，快速连续地显示帧便形成了运动的假象。每秒钟帧数越多，所显示的动作就会越流畅。通常，一秒钟 30帧的速度已经足够让眼睛受骗，使人们在脑海中形成流畅的动态画面。于是，我们在一秒钟之内能看见的流畅动画大概就有且只有种这么多（这里以时间秒来作为考量单位）。这个数字大约当于 那么多，庞大，却是有限的。

声音

看电影总得有声音吧——一句广告词说得好：没声音，再好的戏也出不来。在信息论上，我们有一个著名的“奈奎斯特-香农采样定理”，大概陈述是这样的：

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

人的耳朵大概能听见20Hz到20000Hz的声音。在这样的频率下，我们只需要使用40kHz的采样频率便能满足定理的要求。实际上一张CD使用的采样率是44.1kHz。为了简单起见，我们不妨假设视频的音效和一张CD的音效差不多。44.1kHz意味着我们每秒钟要采集44100个声音样本，而每一个样本通常都需要占用16bit的空间，那么每秒钟就会录制16×44100=705600≈0.71M bit。于是可以算出，总共有 种不同的持续1s的声音，同样是有限的。

视频

将声音和图像联系起来就是视频。那么不同的一秒钟视频的总数就是 ！通常，一部电影时长有几个小时，假设一部电影时长不超过两个半小时，这些电影也一定由前述那些不同画面与不同声音搭配而成。那么时长不超过两个半小时的电影总数就是：

我暂时不知道怎么样才能简单地表达出这个式子的结果，因为这个数字大到难以想象，甚至是它的位数都大到难以想象。不过可以确定的是它仍然是有限的。

人生其实就在一个大箱子里

理论上说，给我足够的时间和资源，我就能够造出所有可能的电影。仿佛所有的电影然都被放在一个硕大无比的箱子里，这个箱子里的电影有《狮子王》，《肖申克的救赎》等等。事实上它还包括了所有未来将会拍摄的电影！

望望远处的绿叶，听听周围的声音。

是不是突然觉得你所听见的、看见的综合起来，其实和一部很长的电影并无二致？是的，或许我们的眼睛像素比1080p的更高，或许我们的耳朵采样率比一张CD的更高，但是这一点也不影响“电影总数是有限的”这一基本特征。实际上，你这辈子就像在看着一部电影：

你憧憬那精彩的一生，其实就在一个大箱子里。

但是请不要灰心，即使身在果壳之中，我们依然可以成为无限宇宙之王。猴子在有生之年敲不出莎士比亚全集，我们在有生之年却能做出许多创造历史的事情，简单如洗牌都是如此，原因正是：虽为有限，依然难以重复。

每一次洗牌都在创造历史

你知道吗：每一次洗牌，你都在创造历史。

大家打牌时或许会经常有“怎么和上局这么像”、“怎么又是这样”的感觉。想打到一模一样的牌局？如果你认真洗牌，这样的情况几乎永远不会发生。 1992 年，Persi Diaconis 和Dave Bayer 的一篇论文中提到， 七次交叉洗牌基本上就能让54张牌所有可能的排列概率均等地出现了（参看 这篇文章 ）。你知道 54 张扑克牌的排列共有多少种吗？答案是：

54! = 230843697339241380472092742683027581083278564571807 941132288000000000000

也就是大约 。这是一个非常非常大的数，仅是其数量级就已经接近于整个宇宙的基本粒子总个数了。按照宇宙大爆炸理论，目前宇宙已经有 137 亿岁了，这相当于是 秒。如果从宇宙诞生开始，每一微秒内都有一个人在洗牌，那么宇宙间发生的总的洗牌次数也不超过次。即使这 次洗牌的结果各不相同，和原来的某次洗牌结果撞在一起的概率也只有 10 的 47 次方分之一。

因此，几乎每一次洗牌， 你都能创造一个历史上从未出现的排列顺序。扑克牌游戏的乐趣，或许正在于此——每一个牌局，都是独一无二的。

看到这里，你还会担心自己的独特会被别人在无意中重复吗？

本文出处： SPIKED MATH COMICS : http://spikedmath.com/420.html

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在拍卖里，出最高价者得宝贝，这是毫无疑问的规则。但是这个出最高价者，一定要付出他喊出的价格才行吗？这就不一定了。维克瑞拍卖法就是一个买家不用付出最高价格的规则，它最大的好处，就是能让买家心甘情愿喊出真价钱。

喊多少钱，就出多少钱，是天经地义的吗？

一个古董收藏家为了周转资金，决意卖掉手上的一个宝贝花瓶，于是准备举行一场别出心裁的拍卖。这个拍卖的规则如下：

买家将他们的报价秘密地封装在信封里，然后递给收藏家；
出价最高的人会以自己的报价从收藏家手中拿走那个花瓶。

这个拍卖被称为“第一价格密封拍卖”。它的规则看起来很有道理，但却可能出现这样一个问题：如果花瓶确实价值连城，但是如果大家都耍了个心眼，以为只有自己才是识货的行家，便随意地提交了一个不太高的价格。那么最后有可能是某一位买家花个小价钱捡个大便宜，这个收藏家只能捶胸顿足痛心疾首了。

同时对于买家来说，这样的拍卖方式同样很能让人脑力耗尽大费周章。虽然每一个买家心里都会对这个花瓶开个估价，但是为了赢得这次拍卖，还需要对其他人的出价进行尽可能准确的猜测或者是私底下对整个局面搜集大量情报，才能很好地制定自己的战术。
既然卖家冒着巨大的风险，而买家又在绞尽脑汁，将大量精力投放到了搜集局面信息上，我们有没有什么办法能够解决这种拍卖法带来的问题呢？

维克瑞拍卖法，让买家心甘情愿喊出真价钱

其实，还真有这么一个拍卖方法能解决上述疑虑，只要将上述拍卖的规则修改了一点点：

买家将他们的报价秘密地封装在信封里，然后递给收藏家；
出价最高的人会以第二高的出价从你手中拿走那个花瓶。

一眼看过去，大家可能会不屑地笑道：这不是让卖家的收入更少了嘛！确实，乍一看，本来买家就有可能投机出低价，现在你居然建议买家只用花第二高的价钱便可拍下花瓶。可是这样的拍卖真的对卖家不利么？不一定。

假如你是一名买家，精明的你一定会事先在心中对这个花瓶默默开出了一个价格，这时所有其他买家的出价情况不外乎两种（假设一般价格之间不会相等）：

1. 他们的最高报价高于你的心理期望价格；2. 他们的最高报价低于你的心理期望价格。

我们将以上两种情况列成下表，方便梳理买家出价的逻辑：

因为任意一个买家报价时都不知道他人的报价情况，也就不能知道他人的最高出价是多少，所以唯一的选择即是让实际出价等于心理期望，这样无论他人报价情况怎么样，自己都能得到最好的结果。

那么为什么在第一价格密封拍卖中，买家有可能出现压低价格的情况呢？因为如果买家出价和心理期望价格相同，就算得到了拍卖品，也不过是等价交换，没有产生收益。但把价格压得越低，自己的利润越大，所以第一价格会为了利润而产生压价的心理，即使有风险也愿意去赌一把；而在维克瑞拍卖的规则下，压低价格则纯粹是在增大自己的风险却无法增加自己的利润。
如果每一个买家都遵从这样的符合自身利益最大化的出价规则参与拍卖，那么卖家之前对投机者的担心自然就被打消了；同时对整体信息的掌握和评估对买家来说已然多余，那么买家就能把主要精力放在对花瓶的精确定价上来，节约了很多资源，同时也有可能吸引更多的买家前来竞标。

维克瑞拍卖的弊端以及改进

这样一看，收藏家所担心的问题应该解决了：他的收入一定等价于这些买家中第二高的心理期望价格。但是这是一个完全依赖于买家的心理价格水平的定价，所以卖家可能会碰到另外一个问题：如果所有买家中只有一个有眼光的人开出了较接近真实价的最高价，但是因为其他人的鉴赏能力有限导致第二价格过低，卖家仍然要承担损失。曾经新西兰政府就用维克瑞拍卖，杯具地以6元钱卖出了某个通信频段。

同时，如果部分买家不遵守游戏规则，甚至是与卖家一起串通合谋，那么单纯地使用“诚实法则”便不能保证你的收益。于是，第二价格密封拍卖实际上是让卖家摆脱了投机者带来的风险，转而承担起了买家可能鉴赏能力不足的风险。

所以其实维克瑞拍卖在实际运用中并不常见，更多的是从它出发进行的一些变型。

一种最常见的变形思路便是让所有的买家进行多轮密封价格竞标，每次都公布本轮的最高价格，这样可以弥补对场上局面不了解的不足，同时也能起到一定的监督作用。一个名为“广义第二价格拍卖”[1] 的推广方法甚至被谷歌运用到了自己的网络广告系统 AdWords 当中。但是一般进行了多轮的竞标活动最后的结果往往带有不确定性，让人们难以使用数学和经济学等工具精确地分析拍卖结果。

不知道各位看完此文，是不是有兴趣拿起手边的一些小物品，准备和身边的朋友针对“第二价格密封拍卖”做一次实验了呢？
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_second-price_auction

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如果我们有两个英雄X和Y，他们每次攻击造成伤害的数学期望是一样的。那么如果他们的攻击目标Z的血量无限，在经过足够长的时间之后，他们造成的总伤害期望也应该是一样的。
但是实际上，DotA的英雄血量并不是无限的。这时就会有一个问题了，让X和Y对打的话，谁赢的几率大一些？

于是我对这个问题进行了一下自己的思考，同时也挖了一个坑。

先简单叙述一下SQYBI牛的问题：假设英雄Y的攻击力稳定为一个值，英雄X的攻击力在上下限中浮动，同时具有暴击——就是一定概率打出k倍于平时的攻击力，其中假设这两个英雄的攻击力期望值相等。然后让这两个英雄分别攻击具有同样血量的目标（护甲什么的其他因素一概忽略），那么他们的攻击次数的期望谁更少？

将这个问题抽象出来便是：在数轴上有两个动点X和Y位于0点，Y每次向右移动的距离是固定的，X向右移动的距离是不定的，但是两个动点移动距离的期望是相等的，现在问要到达或者超过点L，X和Y哪个点移动的次数最少？希望这样叙述一遍之后不会再造成一些不必要的误解了。下文依旧按照原题背景进行分析讨论。

我开始在原背景基础上尝试建立一个简单的模型。假设目标的血量是L，英雄X的普通攻击力是A——此处先不考虑攻击力在上下限中浮动的问题，即只有普通攻击和暴击两种情况。打出暴击的概率是p，暴击能打出k倍于普攻的攻击力。那么X的攻击力期望值就是，这个也是英雄Y每次都稳定的攻击力。显然得到Y的攻击次数便是（取天花板数）。主要问题便是分析X的攻击力。假设X在整个攻击过程中打出了t次普攻，s次暴击，那么可以得到一个不等式 。显然，对于每一组(t,s)，这都是一个贝努利实验，于是每一组(t,s)对应的情况出现的概率便是

接下来便是确定t和s的取值情况。对不等式进行变换，便可以得到 ，由于s是满足此式的最小整数，那么便能得到 。所以我们能够通过t来确定s。显然的，t的取值范围是，那么与概率式相结合，我们就得到了英雄X的攻击次数期望：

其中

下面便是真正困难的地方了：我们求出了两个英雄的攻击次数期望值，但是难以对它们进行比较。于是我便考虑通过mathematica对这两个情况进行分析，情况如下：

以上是我的代码，即将概率p视作连续因变量进行作图分析，在下面的几幅结果图中，靠右的一条线是英雄X的，分段的线是英雄Y的结果

A=20,k=4,L=200的情况

A=30,k=4,L=200的情况

A=20,k=4,L=350的情况

A=20,k=8,L=200的情况

通过上述mathematica对一些参数的具体值进行的分析结果，我们可以得出，英雄Y的期望攻击次数确实是小于英雄X的，也就是说对于同样血量的目标，拥有稳定的攻击力能够用更少的次数击杀掉它。

下面的坑便来了：我试图进行更一般的分析。假设英雄X的攻击力为，对应的击出概率为。那么便有攻击力期望。此时易得Y的攻击次数。假设在整个攻击过程中，英雄X进行了次攻击力为的攻击，那么我们也能同样地列出一个不等式：。对于每一组，都能通过多项分布的公式计算得到此组数出现的概率是

然后仿照前述方法便可求出期望，但是式子异常繁琐。通过mathematica对一些参数的具体值进行分析可得到，基本上Y的攻击次数还是大于X的攻击次数的。

现在的坑就是：怎么样通过分析上面的期望表达式进行一些定性分析。例如我可以猜想打出暴击的概率越大，暴击的倍数越小，则攻击次数期望越接近。或者是分析当两个英雄都不是稳定攻击力时，在攻击力期望相等的前提下怎么比较攻击次数的期望大小。我认为只有讨论了这些，才是对这个问题的彻底解决。

恩，暂时就能想到这么多，不知道SQYBI牛和读者有什么想法~~

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一般这个游戏在2~10人之间依次进行（理论上说没有人数的上限，但是我最多好像也没有和超过10人玩这个游戏）。每个人手中都有相同数量的骰子，一般是4~6个，开始之前摇一摇~每个人只能看见自己的骰子点数。接着从某一个人开始——一般是上一局输了的人，第一个人要做的就是叫点数，格式是“X个Y”，意思就是你认为在所有玩家的骰子中至少有X个点数为Y的骰子，比如有人叫“6个3”，那么就是说他相信在这些玩家手中至少有6个骰子滚出了3点，其中X不能小于玩家数。每一个玩家叫完点就轮到下一个，此时下一个玩家有两种选择：继续叫点数或者是选择“开”。继续叫点数的规则如下：X不能小于上家的X；如果X比上家的大，那么Y只要是1~6就行了；如果X与上家的相等，那么Y就要大于上家的Y（规定此时1>6>5>4>3>2）。比如我的上家叫了5个4，那么我就可以叫5个5，5个6，或者6个2之类的。这个规则和升级或是桥牌中的叫主牌规则有点类似吧~如果玩家不继续叫点数，而是选择了“开”，那么他的意思就是不相信上家叫的数量，这时候所有的玩家都展示自己的骰子点数，清点一下现在的情况是否满足上家叫的数量，如果满足了，那么开的人就罚一杯酒，反之被开的人就被罚。

为了游戏的趣味性，规则当中还添加了一条十分重要的内容：点数为1的骰子可以当成任意点数——除非有人叫了“X个1”。这样一来如果我的手中有2个1点，1个3点，2个5点，那么我就相当于有3个3，同时又有4个5！——除非有人叫了“3个1”或者“5个1”之类带1的点数。这样一来变化就丰富了，即使两个人玩，你也不能马上猜到对方手中大概的点数分布情况。

规则就是这样，下文的分析都以没有叫“X个1”的情况为准。先举一个例子来说明一下游戏流程，免得有人看不懂我上面的描述- -同时下文也将以此进行分析。

假设3个玩家A，B，C，每个人手中有5个骰子。A手中是1,1,3,4,6；B手中是1,2,5,5,5；C手中是2,3,3,4,5。从A开始叫点数。

A：（其实3，4，6都可以，随便选了一个）4个3

B：（自己只有1个3，换一个数字探探C的手风如何）4个5

C：（一般犹豫一下）5个3

A：（见C好像也有3）6个3！

B：（见自己手中只有一个3——1此时可以当作3来看，于是一般犹豫一下）开！

（然后一清点，A手中有3个3，B手中有1个，C手中有2个，加起来正好6个，于是B杯具）

这正是比较典型的一局。理解了游戏流程后，我想提出的问题是：我们有哪些对自己有利的策略呢？

我们把复杂的心理学之类的问题忽略掉，那么这个游戏自然转化成了一个概率问题。假设一共有n个人在玩这个游戏，每个人手中有m只骰子，那么每个点数的平均数量就是m*n/6，再加上点数为1的数量，每个点数的平均数量应该是m*n/3。当我们在玩游戏的时候，自己手中的骰子点数是已知的，那么未知的点数平均数量就应该是m*(n-1)/3。再加上你手中该点数的实际数量，就得到了这个点数的数量期望。

如果假定骰子的点数满足二项分布（即只有是或者不是两种情况），那么可以计算得到：对于m*(n-1)<=61的情况来说，某点数的实际数量更有可能在期望±2个的范围内出现；当m*(n-1)<=22时则更有可能在期望±1个的范围内出现。这个震荡幅度的估计有助于我们进行叫点数时的决策，特别是第一个叫点的人，此时没有其他人的叫点信息，一般也观察不到什么《Lie To Me》等级的暗示，于是他只能通过数学的计算来给自己大概选择一条出路。——不知道有没有人会联想到，其实这个震荡幅度正是一个<50%的置信区间~只不过我们使用的模型改变了，从一个连续的模型（t-分布）转变成了一个离散的模型（二项分布）。通过对这个区间的掌握，我们可以更精确地控制叫点数的范围以及在一定程度上判断继续叫或者开。

在上面所举的例子中，n=3,m=5。对于A来说，3的数量期望应该是3+5*2/3约为6.3，而m*(n-1)=10<22，所以3点的数量更有可能出现在5~7之间，A如果叫5，假如B叫6，C叫7，A就比较难以决策了。所以A选择叫4点，虽然保守，但是不会导致轮一回转到自己的时候出现让自己尴尬的场面。注意到游戏每一次只会有一人受罚，所以说我们为了避免被罚，应该更多地考虑如何让自己叫到一个安全的点数而不是叫到一个正好踩线的点数。

以上便是数学层面的简单分析。但是只要是有人参与的游戏都不可死板地套用公式，人和人的较量总是会让局面变得更加难以控制。比如上例中B如果故意“错叫”了5个3，那么C可能以为A和B都有很多的3点，于是可能跳过6直接叫7个3，那么不是A杯具就是C杯具——如果A不开继续往上叫无疑就中了B的陷阱，B自然不会继续叫下去。也有可能A大胆往上叫第一下就直接开出6个3，B这时候就两难了。站在局外人的角度来看，B根据自己的骰子情况应该选择开，但是如果往上加一个变成7个3，反而会引诱C继续往上叫。恩……博弈论神马的好像准备冒泡了……打住。
我的简单介绍就到这里，任何游戏都还得亲自上阵，纸上谈兵都是没用的~希望大家玩得开心~

P.S:这篇文章中我给出了一个生活中的例子，其中小小地应用了一下置信区间，于是干脆就划分到了这个系列之中。另外我今天下午的6人5骰局就半个小时都没有被罚~当然其实这也和我上下家有点关系……上家是一个永远都8个9个起叫或者6个7个也开的傻孩子，下家是一个无论我叫什么都继续叫的傻孩子……笑~

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相信很多时候大家都会碰到这样的问题，概括起来说就是：对于两份样本求平均数，一般不会完全相等的，那我们如何得知它们所在的两个总体的均数本身就有差异，还是由于抽样的误差所导致的呢？或者类似的，对于一份样本和一个事先假设的均数，我们如何判定这份样本所在的总体的均数和我们的假设相一致？

下面先讨论单样本的情况。既然我们认为样本的均数不能代表总体的均数，主要是因为抽样会有误差，很多情况不会恰好等于总体的均数。那么我们不妨换一个角度，从样本的均数出发，估计出总体的均数大概会出现的范围而不是其确切的值。这个范围我们就称作置信区间(Confidential Interval)。

由于我们相信样本均数和总体均数之差是符合无偏分布的——也就是说样本均数减去总体均数得到的差是正数或者负数的情况是一样多的，所以这个从样本估计出来的区间应该是“以样本均数为中心向两边等距散开”的尿性。于是我们只要估计出这个区间的半长就好。说来轻松，其实这个不是一件容易的事情。下面我们先引进几个概念，再依靠他们计算出区间半长。这些概念的原理比较深奥，要真正理解需要的知识太深奥，所以我也没能从数学上严谨地进行推导而得出所需的结论，于是只好描述性地介绍下。

一、标准误(Standard Error)

标准误和标准差名字很像，但是作用很不一样。标准误是衡量均数抽样误差大小的尺度。因为各个样本的均数是有差异的，所以如果我们对所有的样本均数进行考察——也就是考察他们的均数以及标准差/方差，那么就会有一些发现。自然，所有样本均数的均数就是总体均数，而所有样本均数的标准差，就是我们所说的标准误，或者称之为标准误差均值(Standard error of the mean)。标准误的公式是 ，其中s是这份样本的标准差，n是这份样本的容量。标准差用来衡量样本中各个值与均数的平均差值，而我们所求的这个标准误差均值实际上也就是对样本均数与真实均数（即总体均数）的平均差值的估计。这个估计已经跨出了我们求置信区间的第一步。

二、显著性水平

注意前文我们说过了置信区间主要是用来“估计出总体的均数大概会出现的范围而不是其确切的值”，那么为了严谨，我们必须准确地定义这个“大概”到底是什么意思。自然地，我们会想到去定义总体均数会落在这个置信区间内的概率。也就是说，总体均数是有可能落在置信区间外面的，那么这个总体均数落在置信区间外面的概率就称作显著性水平，通常用来表示。一般统计学习惯上令，另外一层含义就是总体均数有95%的可能落在我们求出的置信区间之中。

三、t-分布

前文定义了标准误和显著性水平，可以看出，其中有样本容量n，标准差s以及显著性水平三个主要的参数，那么我们的置信区间就与这三个参数有关。如果我们知道了总体的标准差，那么就会好办很多，但是一般情况是不会知道的，所以我们只能用从样本中估算出来的标准差进行计算。一般来说我们默认总体是符合正态分布的，但是我们要如何描述样本的分布情况呢？一位笔名为Student的数学家提出了一个今日称为“学生t-分布”(Student’s T-distribution)的统计模型，可以很好地描述样本的分布情况。这个分布可以根据样本大小以及显著性水平得到一个值，一般来说记做。这个值不能准确地表示出来，只能通过查表得到，在维基上面有。

上图(原图在此)是t分布和标准正态分布的概率密度函数图形，v=n-1，可以看出n越大，对应的t-分布就越接近正态分布，实际上标准正态分布是t分布在n趋向于无穷时候的极限。大家都知道，概率密度函数与整条x轴围成的面积是1。一般来说我们使用t-分布来描述的模型是建立在原总体符合正态分布的基础上的，而将一个正态分布转换到标准正态分布的变换公式是，其中是那个事先假设的均数，当我们不知道总体标准差的时候就使用近似的公式，即——使用估计的标准差s代替总体的标准差。

首先我们根据这个公式处理一下样本，将公式变成，也就是将他转化成“标准t-分布”——这个名字是我自己起的，主要是为了让大家和标准正态分布大概联系起来。接着我们就开始考察变换过来之后的这个值是多少，比如是1。接下来就要用到显著性水平的概念了。一般来说我们使用的是Two-Tail模型——Tail指的就是下图黄色的那块，One-Tail还分为Left-Tail和Right-Tail，他们的共同点就是Tail所占的面积就等于。也就是说Two-Tail分布在如下图的白色范围内，其中一般设。

于是，如果我们手上有一个样本，我们知道了s和v=n-1，那么就可以知道这个样本所对应的具体的t-分布了，先将这个样本标准化，接着我们就可以开始求置信区间了。

四、置信区间

铺垫了这么久，终于开始进入正题了。这个区间怎么求，上文其实也说了差不多一半了。梳理一下我们的思路，假设我们手上有一个容量为n的样本，我们求出了他的平均数和标准差。现在我们想估计产生这个样本的总体实际均数的范围，这个范围就称作置信区间。首先我们要确定这个置信区间的值，一般是设为5%，也就是说总体均数有95%的可能落在我们估计的这个区间中。根据之前所说的t-分布，我们就可以开始计算了。

首先我们可以知道一个区间[-c,c]，使得对应样本的t分布在[-c,c]上与x轴围成的面积为0.95（为什么），接着回忆这个公式：。对我们求出的使用这个公式，其中是未知数，于是我们可以得到如下的不等式：

解这个不等式，得到：

那么，这就是我们所求的置信区间。

其中c的值由n和决定，n决定了t分布的形状，决定了这个区间的宽度。和n越大，c越小。然而改变会导致这个区间的“代表性”的降低，所以我们可以通过增大n，也就是增大样本容量的方法来得到一个越来越精确的置信区间。当n趋向于正无穷的时候，也就是t-分布趋向于正态分布的时候，c约为1.96 。

P.S. 这篇文章终于写完了……看了看wp的编辑记录，我是从7月8号开始写的，本来那天准备一鼓作气写完，谁知写了大半断网，服务器只存下了前两段，当时那个泪奔……然后我就开始军训了，没有足够多的整块时间来写完，而时间的推迟导致了思维的断层，只能每天挤一点，有时候干脆打实况去了。终于今早下雨提前收操，绵延了20天的草稿也终于没有变成大坑。

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虽然说我是一个统计系的学生，但是大一行将结束的时候，我只学了一门与其他数计院专业不同的课程：统计推理(statistical reasoning)。

我很喜欢这门课，因为它在不涉及概率统计深奥原理的前提下向我们很好地展示了统计学的基本思想方法。统计学作为一门有力的工具，已经成为了各个科学领域都必须运用的（特别是生物）数据分析方法。当初我填报中大的统计学主要是因为数学与应用数学不在广西招生(- -||)，但是学了这个之后，我倒也没了什么转专业的念头了。

估计我会把这个学期的这门课按照我的理解写成一个小系列，大概四五篇文章的样子，和大家交流一下统计学的思想方法。

统计学中最基础的应该就是描述性统计了。这是一个基本上人人都知道的内容——计算平均数，求方差什么的。不过这里面其实也大有文章。

首先我们要明确样本的概念。在我们的研究中，实际观测或调查的一部分个体称为样本，所研究对象的全部称为总体。所以说样本能够从某种程度上代表总体，但是基本上不会表现得和总体一样。统计学要做的事就是从样本中分析出总体，一般人是“管中窥豹”，而我们希望做到“一叶知秋”。在描述性统计当中，我们的方法是通过计算几个统计量，得到对数据的初等认识。

一、集中趋势

说到对样本的计算，可能大部分人的第一反应就是计算平均数。平均数确实是一个最常用的统计量，但是这还不够。教材上都会给出这样的例子：一个工厂平均月薪是￥3000，看上去非常高，但是实际上是工人20名，每人月薪￥1000，中层干部3名，每人月薪￥6000，一名老总，月薪34000。之所以会出现这种情况，就是因为多了“老总”的存在，我们称之为“偏值”(Outlier)。这样的数据对于平均数来说一般是致命的。所以为了描述这样的数据，我们不得不引入另外两个描述的方法：众数和中位数。

顾名思义，众数就是出现次数最多的数，中位数就是整个样本中大小中等的数。他们对样本的解读起到了很重要的作用。比如上面举的例子更适合使用中位数和众数。它们的出现很大程度上弥补了平均数受偏值影响严重这一事实。这三个指标也是各有优劣，平均数对于样本来说是很稳定的，意即不同的样本平均数差别不是很大，而中位数和众数对样本就不是很稳定了。中位数的好处就是不容易受到偏值的影响，而众数的好处就是便于计算，也更方便数据的分类。这三个统计量互相弥补，我们将这三个指标称为集中趋势(Central Intendency)。

二、离散程度

可能还有很多人记得另外两个学过的指标：方差和标准差。这两个指标描述的是整个样本是如何偏离于平均数的，这两个指标在描述性统计之外也大有用途，以后会谈到。除了这两个指标以外，我们还有很多的统计量，比如四分位数（四分之三位数），极差等。四分位数就是处于整个数据四分之一和四分之三位置的数，与中位数一起基本将整个样本分割成了4块。极差(range)便是最大数和最小数的差。这些指标构成了样本的离散程度。

三、分布特征与图表

其实说了这么多，还有一个很重要的东西没有涉及到，那就是样本的“形状”——也就是它的分布特征。一般我们要讨论这个数据是否符合正态分布，是否偏斜——上面的那个例子就是严重地向左偏斜（因为在数轴上从左到右数据是增大的，所以习惯上“左倾”就是向小数据倾斜）。

讨论样本形状的时候，更方便地便是画出样本的图示。有时候图示会给我们带来意想不到的结果。最常用的一般是直方图或是折线图，这样的图示很明确地展示了每一段样本的分布情况。不过他们并不是唯一的，有一种叫做盒须图(box-and-whisker plot)的图示从另一个角度向我们展示了样本的分布情况。

上面就是一幅盒须图，我们可以看出中位数，四分位数，极值等指标。是不是比纯粹的数据描述的离散程度更加直观呢？

以上便是描述性统计的大概内容了。描述性统计是对样本以及总体的一个初等认识，也是传媒对大众进行宣传的时候常用的方法。

最后我们来看一个Matrix67在他的blog上给过的一个例子。

1973年，统计学家F.J. Anscombe构造出了四组奇特的数据。它告诉人们，在分析数据之前，描绘数据所对应的图像有多么的重要。

Anscombe’s Quartet

I		II		III		IV
x	y	x	y	x	y	x	y
10.0	8.04	10.0	9.14	10.0	7.46	8.0	6.58
8.0	6.95	8.0	8.14	8.0	6.77	8.0	5.76
13.0	7.58	13.0	8.74	13.0	12.74	8.0	7.71
9.0	8.81	9.0	8.77	9.0	7.11	8.0	8.84
11.0	8.33	11.0	9.26	11.0	7.81	8.0	8.47
14.0	9.96	14.0	8.10	14.0	8.84	8.0	7.04
6.0	7.24	6.0	6.13	6.0	6.08	8.0	5.25
4.0	4.26	4.0	3.10	4.0	5.39	19.0	12.50
12.0	10.84	12.0	9.13	12.0	8.15	8.0	5.56
7.0	4.82	7.0	7.26	7.0	6.42	8.0	7.91
5.0	5.68	5.0	4.74	5.0	5.73	8.0	6.89

这四组数据中，x值的平均数都是9.0，y值的平均数都是7.5；x值的方差都是10.0，y值的方差都是3.75；它们的相关度都是0.816，线性回 归线都是y=3+0.5x。单从这些统计数字上看来，四组数据所反映出的实际情况非常相近，而事实上，这四组数据有着天壤之别。

把它们描绘在图表中，你会发现这四组数据是四种完全不同的情况。第一组数据是大多人看到上述统计数字的第一反应，是最“正常”的一组数据；第二组数据所反 映的事实上是一个精确的二次函数关系，只是在错误地应用了线性模型后，各项统计数字与第一组数据恰好都相同；第三组数据描述的是一个精确的线性关系，只是 这里面有一个异常值，它导致了上述各个统计数字，尤其是相关度值的偏差；第四组数据则是一个更极端的例子，其异常值导致了平均数、方差、相关度、线性回归 线等所有统计数字全部发生偏差。

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《女士品茶》读书报告

——关于概率的思考

《女士品茶》这本书按照作者的说法，是一本适合于不懂得或者略懂数学的人进行阅读的书。全书以“女士品茶”这一个早期的统计学实验开始，详细地叙述了一个多世纪以来统计学的诞生和发展的历史，在一个个精彩的人物和故事中将统计学各个领域的思想向读者进行了简明扼要的介绍。

在我看来，这本书的内容从学术的角度来说写得比较软，但是让这本书成为经典的不是其中的学术分析，而是其视野的独特和广阔。全书用了一百多页的篇幅将统计学历史以及现在的整个统计学发展轮廓涵盖其中，确实是让人入门统计的一本好读物。

这本书还有另一个让我觉得提升了其自身价值的地方，那就是它毫不避讳地指出了当下统计学中遇到的困境。比如现在统计学遇到的哲学困境：概率是什么？书中列举了三个尚未有定论的问题：

1.可以同统计模型来做决策吗？

2.当概率应用于现实生活中时其含义是什么？

3.人们真的懂得什么是概率吗？

书中已经写到，数学家们已经通过公理化的方法稳固了概率论在数学上的地位，但是当下数学和生活密不可分，统计学更是在各个领域皆有用武之地。所以我们应该仔细地想想上面的三个问题。

一、可以用统计模型来做决策吗？

按照最标准的数学史，概率论是从费马和帕斯卡研究一个赌徒所提出的问题而产生的。所以应该看出，概率论能够发展到今天，其实是由于大家需要进行决策所带来的动力。这门学科本身就是为了指导人类行为而产生的。但是这里问到的统计模型却又是另一回事。为了说明在这里遇到的困难，书上提到了一个显著性检验的悖论。假设显著性水平设定为0.0001，那么我们可以组织一次公正的10000张彩票的抽奖活动，其中只有一张只中奖券。按照这个假设，第一张彩票中奖的概率为0.0001，于是我们拒绝这个假设，依此类推，我们可以拒绝任何一张彩票中奖这个假设——但是，这些彩票中必然有一张会中奖。矛盾就在这里。

在我个人看来，其实这并不是矛盾。假设检验是有检验效能的，每一个断言都有错误的概率，对10000张彩票进行检验，要想不犯错的概率是非常低的。所以说我们可以同统计模型来做决策，但是不要将其结果当成断言，而是当成一种可能性分析，即这件事情发生的概率是多少。如果接受了概率，那么自然统计模型能够对我们做决策进行指导。

现在的问题转移到概率了。

二、当概率应用于现实生活中时其含义是什么？

我准备在这里对概率在实际生活中进行一种比较科幻的解释，先说说物理学。

当科学家们开始研究量子力学的时候，发现对实验现象的描述不可避免地要使用概率论。双缝实验，不确定性原理，电子云等量子力学中出现的违反直觉的现象让大家开始思考，什么才是真实。爱因斯坦说过：上帝不玩骰子。但是物理学的发展似乎正在推翻这个结论。下面说一个物理学中的假想实验。在一个内部真空的盒子中放入一个电子，我们不去观测它。量子力学说，我们无法知道它究竟在哪。如果我们某一时刻用一块板子插进盒子将其分成两部分，那么电子必然在某一边——可是我们无法预测在哪一边！如果两部分体积相等，那么电子出现在某一边的概率就是50%。只有当我们实实在在地进行观测时才能够知道那个电子究竟被分到了哪一边。根据量子力学理论，观测之前这个电子既在这边又在那边！整个物理学以前从来没有接受过概率理论，那么显然，就算是为了爱因斯坦的那句话，物理学家中也必须有人做些什么。

于是有人在1957年革命性地提出了一个观点。这个人就是休·艾弗雷特三世，他的理论叫做“多世界诠释”。多世界诠释认为，观测时分离出多个平行宇宙，每个宇宙都有一个确定的状态，而我们只是在其中的一个特定宇宙。根据这个理论，我们观测上述的电子实验时，已经分离出了两个平行宇宙，一个是在左边，另一个是在右边。这两个宇宙会互不干扰地存在着。甚至可以这样理解，我每抛一次硬币，就会分离出一些平行宇宙，其中一些宇宙中的“我”得到了正面，另一些宇宙中的“我”得到了反面。于是我得到正面还是反面的概率实质上就等同于这一次抛掷硬币分离出的“正反宇宙”数量之比。

这个理论的一个优点在于，我们无需对概率进行更多的解释，物理学家已经帮我们避开了现实世界中所谓的“概率”。既然不存在概率，那么我们就不需要讨论概率在实际生活中代表什么了。

这个理论看上去有其很明显的缺陷。平行宇宙是一个一个的，也就是说最多分离出可数个。但是概率常常与无理数结合紧密，例如布丰的投针实验的概率就涉及到了圆周率。这种情况下无法使用“平行宇宙数量之比”进行研究。但是物理学家声称，宇宙中有最小的长度单位：普朗克长度。也就是说，我们的世界其实是离散的，由很微小的点“逼近”出一个连续的世界的模样。所以，数学上对连续空间中的概率分析恐怕在这里就不适用了，因此也不会出现无理数。至少在这一点上，使用平行宇宙来解释实际生活中的概率论没有什么问题。

三、人们真的懂得什么是概率吗？

这是作者列出来的最后一个问题。看上去我对上一个问题的回答改变一下也可以套用在这里，但是鉴于作者的这个问题主要侧重于人们对概率的心理认知，于是我也从这个角度说说我的想法。

对于作者这一段的论述，我基本赞同苏佩斯那个简单的概率模型。人类的心理是模糊的，对概率这样尚未有正确认识的事物更是无法如手术刀般精准地划出上百个等级，只能分出一个大概。如同作者所说的：“天气预报员尽力想区分降雨概率90%和75%间的不同，但实际上他们根本不可能说清楚。”

不过话说回来，这些在概率上的精确有用吗？在赌博上，在经济运行上，概率应该确实是有用的。但是，就比如天气预报中的90%和75%，我会为了这两个概率没有到达100%而出门赌一把不带伞吗？当这些概率不能通过明白直接的计算得到一个期望，而我们却希望从中得到一些指导性意见时，人脑只能将其分成几个大类，有点类似“全部，大部分，一半，小部分，没有”这样的比例描述。这样的分类对于绝大部分情况都够用了，一般人心里都会这样做：把“大部分”当作“全部”，把“小部分”当成“没有”。至于“一半”的情况，我们常常会听到“我有硬币，你要不要抛一抛”之类的言论，也就是说其实我们对这种情况无法进行简单的优劣判断，需要外界来帮忙。

人类进行决策的时候更多依靠直觉而不是理性，所以说，是否对概率有了精确的理解对于人们的日常决策并没有多大的帮助。

小结

以上便是我在读完了《女士品茶》这本书后对概率的思考。统计学作为一门应用性学科，我们必须要对其理论与生活的结合有深刻的了解。我认为，在概率上进行的深刻思考对统计学的发展会有很大的作用。因此我对作者提出的几个概率论的问题进行了简单的思考。

书中所描述的20世纪是一个统计学蓬勃发展的世纪。我认为，21世纪是一个概率统计能够被每一个人所接受的世纪，概率将会成为每一个人的生活基本常识。这，大概需要一位书中时常提到的“还未出现的天才”来带领吧。

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即使我不说，估计所有人都知道上图中唯一的空格应该填上38。除此之外，你还能发现什么规律么？

我能告诉你，至少还有一条规律是这样的：在大小上相邻的数字之间的位置也相差不远，都互相在对方的周围八格内，即，如果从1开始往下遍历数字，会发现从下一个数字总是在上一个数字的左右上下的或者对角方向的相邻位置上。

是的，这次我推荐的游戏就是这样的规则：让图中的数字能够从小到大连成一条不间断的线——不管是横的竖的还是斜的。游戏的名称叫做Hidato Adventure——Hidato是以色列数学家Dr. Gyora Benedek发明的有着如上述填数规则的数字游戏。先不妨玩一玩，看看下面这幅图你要花多久来填满？深黄色的格子是挖空的，不需要填。注意，有公共边或者公共顶点的格子都可以填入下一个数字哦~

这个游戏保证只有一个解，同时比数独灵活的地方就在于它的格子形状可以千奇百怪，在方格中间挖孔是最常见的方法，还有爱心形状的啊，骷髅形状的啊，只要你想得到就能够画得出——规则越简单，可能性就越多样。不过目前我还没有总结出什么比搜索更好的方法，剪枝也就是简简单单地先将所有的唯一解（包括填了唯一解后新产生的唯一解）填满，然后继续深搜……关于解题的其他新想法欢迎在下面留言讨论~~我的是在幻想游戏上下载下来的单机版本（名叫数列大冒险……），而这里是官网上提供的在线试玩地址（貌似只有一关~囧）。

上题的解法见下图：

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整数和运算 “+” 一起形成一个数学对象，它属于共享相似结构体貌一个广泛的类。为了适当的理解这些结构而不用个别的处理所有具体情况，发展出了下列抽象定义来涵盖上述和很多其它例子，其中之一是下面详述的对称群。群是一个集合 G，加上在一起的运算 “•”，它组合任何两个元素 a 和 b 来形成指示为 a • b 的另一个元素。符号 “•” 是给具体给出的运算比如上面的加法的占位符。要具备成为群的资格，这个集合和运算 (G, •) 必须满足叫做群公理的四个要求:
1. 闭合： 对于所有 G 中 a, b，运算 a • b 的结果也在 G 中。
2. 结合律： 对于所有 G 中的 a, b 和 c，等式 (a • b) • c = a • (b • c) 成立。
3. 单位元：存在 G 中的一个元素 e，使得对于所有 G 中的元素 a，等式 e • a = a • e = a 成立。
4. 逆元：对于每个 G 中的 a，存在 G 中的一个元素 b 使得 a • b = b • a = e，这里的 e 是单位元。

进行群运算的次序可能是重要的。换句话说，组合元素 a 与元素 b 不必须生成同组合元素 b与元素 a 相同的结果；等式 a • b = b • a 可能不为真。这个等式在整数于加法下的群中总是成立，因为对于任何两个整数都有 a + b = b + a (加法的交换律)。但是在下面的对称群中不总是成立。等式 a • b = b • a 总是成立的群叫做阿贝尔群(致敬于尼尔斯·阿贝尔)。因此，整数加法群是阿贝尔群，但后面的对称群不是。

群的一个重要类别就是置换群。一个置换可以理解成一次有一定顺序的交换。比如a到b，b到d，d到c，c到a就是对序列(a,b,c,d)的一次置换。我们可以用f来表示一个置换规则。比如刚才那个例子就可以表示为f:(a,b,c,d)->(b,d,c,a)。我们将由置换作为元素的群称做置换群。比如序列(1,2,3)的置换共有六个，他们分别是：

(1,2,3);(2,3,1);(3,1,2);(1,3,2);(3,2,1);(2,1,3).

为了方便起见，将他们分别命名为I,a,b,x,y,z。再定义运算“伴随”，用符号“ • ”表示。其中任意两个置换A和B的伴随运算就是将A中的元素按照B的置换方式进行运算，例如：s1 • s2=(2,3,1) • (3,1,2)=(1,2,3)=I。还可以用OI知识理解：这里的s2的序列表示的是地址序列变化规则，不是内存中指针对应的数值。（我有点怕有人看不懂诶……）

下面我们要利用上面的材料鼓捣出一个置换群。群的关系可以用表格来演绎：

•–I–a–b–x–y–z

I–I–a–b–x–y–z

a–a–b–I–z–x–y

b–b–I–a–y–z–x

x–x–y–z–I–a–b

y–y–z–x–b–I–a

z–z–x–y–a–b–I

上表就是我们置换群。很容易验证他们都满足群的定义。

下面是另一个比较好理解的定义：两个结构相同的群被称为是同构的。举一个简单的例子就好了。首先看由代数乘法和{1,-1}构成的群：

* 1 -1

1 1 -1

-1 -1 1

这是一个群。下面我们可以构造一个与此同构的置换群。定义s=(1,2),t=(2,1),运算为“ • ”，则有：

•–s–t

s–s–t

t–t–s

发现了吗？他们确实是同构的！
其实我们有一个凯莱定理：每一个群，不管其元素与元素之间的运算，都是一个置换群的“翻版”——也就是说同构。这个定理告诉我们：只要研究置换群，就等于研究了所有的群。
pan>

好了，基础知识预备完毕。下面我们看看一个有趣的人类学问题。

在一个澳洲土著部落凯瑞拉中发现了极其复杂的姻亲系统，让人类学家非常困惑。每个凯瑞拉人都属于4个宗族之一：班那卡，凯瑞莫拉，布瑞和帕雷瑞。人类学家发现了如下的规则：

1.一个班那卡人只能与一个布瑞人结婚。

2.一个凯瑞莫拉人只能与一个帕雷瑞人结婚。

3.一个班那卡男人和一个布瑞女人的小孩是帕雷瑞人。

4.一个布瑞男人和一个班那卡女人的小孩是凯瑞莫拉人。

5.一个凯瑞莫拉男人和一个帕雷瑞女人的小孩是布瑞人。

6.一个帕雷瑞男人和一个凯瑞莫拉女人的小孩是班那卡人。

有没有头晕……人类学家倒是比较囧。于是一位人类学家询问了一位数学家，希望能够给出一种指导性的方法，用来抽象一点——清晰一点地表示这个复杂的联系。那位数学家成功了，他使用的正是群论。我们做一些预备工作。将四个宗族分别表示如下：

A=班那卡，B=凯瑞莫拉，C=布瑞，D=帕雷瑞

上述的婚姻规则1和2就是就是AC结婚，BD结婚，于是我们可以构造一个映射：f=(A,B,C,D)->(C,D,A,B)。注意这里有f•f=I（这里的I是单位元(A,B,C,D)）。再根据后裔规则3～6发现孩子的宗族其实可以由父系或母系的宗族来决定。于是定义父系规则：p=(A,B,C,D)->(D,C,B,A),m=(A,B,C,D)->(B,A,D,C)。再次发现p•p=I,m•m=I。同时，我们还可以得到，以上三个置换任意两者之间的运算都会生成第三者（如f•p=m）。下面就是这个群的“乘法表”：

•–I–f–p–m

I–I–f–p–m

f–f–I–m–p

p–p–m–I–f

m–m–p–f–I

现在发现了么？这个表其实可以用来描述一类抽象的群，这类群有三个元素，其中每一个都是其自身的逆，任何两个的结合又能得出第三个。为了用实例简单证明凯莱定理，我可以提出一个和这个宗族置换群同构的非置换群。

考虑一个非常普通的旋转群。比如一个立方体。

X:围绕X轴旋转半周

Y:围绕Y轴旋转半周

Z:围绕Z轴旋转半周

I:立方体不动

读者可以亲自检验，这个群和前面的那个置换群是不是同构的。

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研究如何生成自己想要的图形是一件有趣的事。有人说这是个零玩家游戏。我不同意，因为你作为一个玩家能够决定的初始状态影响到了整个游戏的进程。比如有人构造出了生命游戏的“伊甸园模式”（抱歉，我没有找到这些图——Kai，你不是Searching Geek吗？）——也就是说那些模式是没有上一代的——只能以它作为整个生命史的起点。同时，研究计算机，物理或者控制论的专家们通过深入研究包括生命游戏在内的细胞自动机发现，通过控制规则和初始状态来让一个模式自动演化，是一个很有意思的学问。我们可以将生命游戏修改下，比如将它和祖父辈也联系起来，或者将它扩展到3维空间进行立体的演化。如果想看有一点点公式的浅层科普级理论介绍的，可以参考这里。如果你有兴趣进行自己的构造过程，可以玩玩这个生命游戏程序。我们还可以继续构造出简单而有意思的图形（更多图片请看这里）：

刚才提到了细胞自动机，那么我们就继续说说另外一个经典的细胞自动机模型：Langton’s ant。langton‘s ant的确是有一只蚂蚁。它的规则如下：
在平面上的正方形格被填上黑色或白色。在其中一格正方形有一只“蚂蚁”。它的头部朝向上下左右其中一方。对于每一代，若蚂蚁在黑格，右转90度，将该格改为白格，向前移一步；若蚂蚁在白格，左转90度，将该格改为黑格，向前移一步。这样，蚂蚁也就会不断的进行移动，没有终止。
这里是一个经典的Ant演示GIF，可以下下来看。这里是另一个介绍Ant的网站。一定要去看看。
看起来是很简单的东西，但是，发现者Langton在他1986年的PhD论文写的就是这玩意。这有什么神奇的地方？
我们看看一个例子。首先，让我们看看如果一只蚂蚁从一个全都是白格子的地图开始行动，她会怎么走？我们可以将这个过程分为几个阶段。第一个阶段，也就是大概在500步之内，那只蚂蚁会走出一些有点像中心对称的图形。第二个阶段，也就是刚超过了500步，这个对称突然间就会被破坏，那只蚂蚁就像发疯一样到处乱走，不知到他在干嘛。第三阶段，蚂蚁就这样走了大概10000步后，突然，他就像决定了要向哪里走：他开始建造我们称为“高速公路”的很规则的图形——这个图形朝着一个方向延展，就像蚂蚁铺出来的。但是过了100步左右，她有一点点的“漂移”，他转了一个方向，开始建造新的“高速公路”。这个图形十分严谨，能够让那只蚂蚁是分悲哀地永远走下去——如果一路上没有障碍。这里还引伸出了一个十分耐人寻味的观察事实：如果你的布局中黑色的格子是有限的，那么那只蚂蚁不论中途怎样，最后一定是以建造“高速公路”来升华自己的生命……但是这个结果还没有得到证明。真是一个有趣的问题。
最后，这里是一个Ant的Java程序，可以去试试上面那个例子，也希望你构造出上面命题的一个反例～

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