从证据方面来说，辛普森符合所有嫌疑犯的光环：有附近居民作为目击证人，有带着血迹的手套，有大小相符的鞋印，甚至有DNA证据。但是整个案件中，警方在提取证据时犯下了比较严重的错误，导致一部分证据失去了法律效力。抛开这些不谈，我们就着重看着两个细节：陪审团的构成以及辩护律师的一些辩词。

1.最终陪审团的组成是10女2男，其中有9名黑人，2名白人和1名西班牙裔白人。而辛普森是黑人，他被害的前妻是白人，因此“据称陪审团的黑人女性将受害者妮可尔·布朗（一名白人女性）视为从黑人女性手中夺取成功黑人男性的敌人，因此，她是咎由自取”。陪审团的目的是听取庭上的一些证据，经过讨论以及投票之后，得到被告是否有罪的结论。从统计上来说，这类似于抽样调查。一般来说，抽样调查在样本数量比较少的时候很容易产生偏差，而根据维基百科，“因此双方都接受了较多数量的女性陪审员”，这是一个主观抽样过程，虽然说双方作出这样的决定是为了避免一些偏差，但是这样避免了随机的操作可能会在另一方面造成始料不及的偏差。因此我们不能认为这个12个人的陪审团的最终结果就能够代表总体的意见。我们可以通过一个例子来看看，如果没有避免所有可能的影响因素，那么抽样的结果可能会很糟糕。这个例子来自《统计数字会撒谎》：

第二次世界大战期间,国家民意调查中心,(The National Opinion Research Center)派出两组调查人员对一个南方城市的 500 名黑人进行提问,一组调查人员由白人组成,另一组是黑人。问题一共有 3 个。

其中一个问题是: “如果日本占领美国, 你认为黑人的境况会得到改善还是变得更糟?”黑人调查组中,9%的被调查者回答“变好”,而白人调查组该比例只有 2%。。回答“变坏”的比例也不相同,黑人调查组是 25%,而白人调查组则是 45%。

第二个问题是用“纳粹分子”替代“日本”,两组的结果大体相同。

第三个问题试图探寻被调查者对前两个问题的真正态度。 “你认为目前致力于打败轴心国比在本国内进一步推进民主更重要吗?”。 ”黑人调查组中,选择“打败轴心国”的比例是 39%,而白人调查组则是 62%。

从这个例子中可以看出，我们竭力将两组调查的不同之处限制在调查人员的身上，最后的结果仍然大相径庭。那么，一个成员比较主观的十多人组成的陪审团的意义从某种角度来说是值得商榷的。

2.尽管检方掌握了众多的有力证据，辩护律师仍然拉开了三寸不烂之舌希望挽回大局。辩护律师首先对DNA这个看似难以攻破的证据发起了进攻，他们的辩词大概意思是，DNA检验的碰撞率（即两个人的DNA一样）为百万分之一（其实根据维基百科的说法，碰撞概率为1.7亿分之一），那么在整个纽约中应该能够找到差不多十个DNA样本一样的嫌疑人。同样的辩词也被用于其他的证据上：如果是鞋印，那么整个纽约中拥有同样尺码、同一款鞋底的人可能不少于100个；附近居民作为证人，也并不能一口咬定开着白色福特轿车的黑人就是辛普森。

在这样的说法下，法庭上的所有人一下子愣住了，好像从来没有这样考虑过问题。可以认为，这段辩词有力地干扰了陪审团的倾向。实际上，这段辩词有一个显而易见的大漏洞。假设一个人和辛普森DNA检测的结果相同的概率是一百万分之一，一个人和辛普森鞋印完全吻合的概率是一万分之一。那么，一个人同时在DNA和鞋印上同时完全吻合的概率是多少呢？这是概率论中常常会涉及到的问题。假设DNA检验结果相同，使得脚的大小已经是一致的了，那么市面上还有约100款鞋底不同的鞋子等待被挑选，于是两个DNA基本相同的人拥有同一款鞋子的概率为一百分之一。所以，纽约市中那10名DNA与辛普森基本相同的人中，有百分之一的人会选择相同的鞋印，也就是整个纽约市中除了辛普森，还有0.1个人与其拥有同样的DNA与鞋子。再加上一个开着福特白色野马的条件呢？也许每1000个人中就开着一辆。这样算下来，整个地球中也找不出第二个人满足上述三个条件。但是辩护律师混淆了概念，使得在场的所有人都孤立地看待着辛普森的这些证据。因此，得出了“好像是有这么一个误判的可能性”的想法，慢慢地将证据的效力降到了最低。如果在场的任何人具有基本的概率论知识，便可以当场反驳辩护律师，也许就可以导致完全不同的结果。

上面这两点，让我们看到，如果对于统计学或概率论的知识掌握不好，那么就有可能导致很多的误解与歪曲。

——————————横跨二十年的分割线——————————

说了这么多，纯粹是由于这段时间的“方韩之争”引起的。下面说些比较主观的话。

方舟子作为一个攻击性100分的人，很张扬，而且有着光荣的战绩，也得到了许多人的支持。这些人围绕着方舟子“科学”的旗号，却没有真正地利用好这个工具。而方舟子为了证明自己的观点，还挺有技巧地不着痕迹地引导着大家的观点。在此仅在他的不太成功的粉丝方面举两例。

第一例：有人用了主成分分析的方法对韩寒、韩仁均、郭敬明等一些人的作品进行了特征词语频数的统计分析，注意，是频数。其中包含了一本字数远远超过其他作品的《鬼吹灯》，得到了一篇统计分析的报告（遗憾的是，作者他……删帖了），其中发现韩仁均和韩寒的作品难以区分。我们可以很容易地发现：如果所有人的特征词语使用习惯都一样，那么作品的长度不同将直接导致频数的不同；同样的道理，特征词语使用习惯不同的人在不同长度的文章之下却能得到差不多的频数。因此统计之都的微博账号给出了一副修正过后的主成分分析结果图，此图中我们可以发现，韩寒本人的作品时而与鬼吹灯接近，时而与韩仁均的作品接近。因此仅仅通过这样的结论，我们不能得出“韩仁均代笔韩寒作品”的结论，最多得到“韩仁均和《鬼吹灯》作者分别代笔部分韩寒作品”的结论。当然，郭敬明的小说在远远的右下角，因此我们可以比较放心地排除……

第二例：微博围观请点击。这篇文章介绍了许多关于贝叶斯统计的东西，但是在实际使用的时候犯了一些差错。贝叶斯统计认为事件发生是有一个“先验概率”的，就像一枚不均匀的硬币抛出正反面的概率并不是相等的。此文作者在写文章的时候，有两个地方值得商榷：

第一，作者声称“文中假设了各个先验概率是独立的”，然后得到了一些结论，但是事实上各项先验概率并不一定是独立的，因此公式计算出来的数字只能被视为数字，在违背事实的假设下没有任何有意义的结论。

第二，对于先验概率的任意选取同样与事实偏差较大，一句“在信任缺失的中国P(Y=0)=0.6,P(Y=1)=0.4是比较合理”让大家感到十分无奈。中国人是贼的概率是0.4的话，那就有5.6亿的中国人是贼了。此外还有许多有待肯定的设置，因此这是第二个与事实不符的地方。

在一篇以事实为背景的文章里，包含了两个直接影响结果的违背事实的假设，我完全无法认同。我并没有否定使用这样的方法，而是对作者这种隐隐约约为了自己的主观意见而拼凑数字与制造假设的行为感到无法接受。如果比较客观地得到了类似的结果，那么我便可以接受。

今早看见韩寒说打官司，便想起了这么多的数字工具，便想起了辛普森案件的这段插曲。这些年过去了，统计工具发展得越来越厉害了，而比较玄乎的说法也让编外人员有如雾里看花，不知道如果真的开庭了，方派会不会类似地摆出一上述文章的数学证据。统计说到底也是一套工具，普通人很容易陷入对其的崇拜当中。即使对于同样的数据，生成半成品的手法与对半成品的解读也能巧妙地产生截然不同的结论。数字依旧是数字，只是温顺的羊，人们的目的才是狼，正所谓狼子野心。

披着羊皮的狼，能够蒙蔽人的双眼，然后吃到美味的肉。

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不妨称呼博弈双方为A和B，现在他们要玩一个类似井字棋(tic-tac-toe)的游戏。A使用一个6*6的方阵，而B使用一行1*6的格子。首先，A分别为第一行的每一个填入自己选择的X或O，然后B选择使用X或者O填入第一个格子中。接着，A继续用XXOO填满第二行，B将X和O填入第二个格子。如此进行六次，两个人的格子就都被填满了。现在，如果A的格子中存在某一行与B的那一行完全相同，那么A就赢了。如果是你，你选择当A还是B呢？

解答：不管你选不选B，反正我是选B了。实际上，B的必胜策略会让人感觉十分熟悉。

B需要保证自己的那一行与A的每一个行都不相同，也就是说B的那一行与A的每一行都至少在一格上有差别。于是，下面的图示展示了B的一种获胜策略。

A填满后的6*6格子：

OXXOXO

OOXXOX

XXXOXX

OOOXOX

XXOOOO

OOXOOX

我们考察粗体标出的对角线：OOXXOX。这时候B只需要将这串字符反过来写：XXOOXO。

这样一来，B的第一格和A的第一行第一格不同，B的第二格和A的第二行第二格不同，……。因为是A先填，所以B只需要等A填完第i行，然后在第i格填上与A的第i行第i格相反的字母即可。实际上，对于任意n*n以及1*n的格子都能够使用这个策略，甚至当n→∞的时候都能够保证B不败。

大家应该都想到了，B的必胜策略实际上就是康托当年祭出的对角线法。他用这个方法证明了实数是不可数的，也就是说实数不可能像自然数一样能拥有专属与自己的整数编号。

这个博弈游戏使用了康托证明实数不可数的手法，让我想起了一起看到过有牛人设计了一个博弈游戏，通过这个证明了实数是不可数的。这个游戏的规则是这样的：

参与者仍然是两个玩家A和B。首先A选出[0,1]区间的一些子集，并为S，接着从A开始两个人轮流在[0,1]之间选取数字。A首先在(0,1)中选取数字a[1]，接着B选取b[1]满足a[1]<b[1]<1，接着A选取数字a[2]满足a[1]<a[2]<b[1]，B选取b[2]满足a[2]<b[2]<b[1]……一般地，A的第n次选数字要满足a[n-1]<a[n]<b[n]，接着b[n]要满足a[n]<b[n]<b[n-1]。根据区间套定理，我们知道最后他们每轮选数产生的区间会收敛到一个数T。如果最后发现数字T收敛到了S中，那么B就胜利了，反之A就是赢家。

那么这个游戏和可数集有什么关系呢？因为我们有这个结论：如果S是可数集，那么B必胜。

因为S是可数集，那么它的元素就能够被列举为s[1],s[2],……我们还会发现，B的第n步是在区间(a[n-1],b[n])中选的，如果这个区间中已经没有S中的元素了，那么B自然获得了胜利。如果还存在S中的元素，那么就让B任意选取一个。这样B选完n次数，就会有至少n个S中的数被剔除于区间(a[n-1],b[n])外。因此S中的每一个元素都会在某一步之后被剔除，所以最后T不会属于S。

但是，A是一定能够胜利的。为什么呢？因为只要A让S=[0,1],他就赢了——虽然说很无耻，但是很有效……这样一来，B就不能赢了，[0,1]也就不是可数集了。

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在条件概率的趣题中，最出名的便是”三门问题“了。现在我尝试尽量严谨地重述这个问题的主要部分。

在一个娱乐节目中，每一个最后的赢家都面临着一个碰运气的选择题。他会看见一块板子，上面有三个门，其中一个门的背后是汽车，另外两个门的背后是山羊——当然，大家都想得到汽车。在门没有被打开的情况下，赢家是不知道门背后是什么的。他可以随机地选取一个门，然后主持人将他选择的门打开，如果是汽车的话，他就赢得了大奖，否则只能抱着一头山羊离开了。

如果题目背景就是这样，那么他选中汽车的概率就是1/3。但是还没完，为了增加趣味性，事先知道门背后是什么图案的主持人在赢家选中某一扇门之后，呼地打开了另一扇门——这扇门背后是一只山羊。现在，赢家选中了一扇门，还有一扇门不知道背后是什么。现在的问题是：赢家从刚才自己选中的门转换到另一扇没被打开的门，自己赢得汽车的概率会不会有所提高呢？

我们为了计算概率，通常都会用一些运算式来进行表达，这样虽然比较数学，但是有时候不那么容易让人理解。所以我希望能以”多次试验中某事件发生的次数“来代替概率的计算，这样比较容易理解，而且一般结论也不会出错。

假设上面提到的节目一共举办了6000期，那么赢家第一次选择就选到了汽车的次数是2000次，选中山羊的次数是4000次。无论赢家第一次选的是什么，主持人都会展示一只山羊。如果赢家不选择更换一扇门，那么他只有2000次的机会赢得汽车。现在假设赢家无论怎么样都会换到另一扇门上。

在4000期节目中，赢家指中了一只山羊，同时主持人掀开了另一只山羊，那么如果他这个时候选择换到另一扇未被打开的门上，那么他就能赢走一辆汽车。所以他会赢得4000辆汽车

在另外2000期节目中，赢家指中了一辆汽车，这时候他同样选择换一扇门，于是自己便只能得到一只山羊。所以他会赢得2000只山羊。

相比之下，坚持第一直觉，就有2000辆汽车；不坚持第一直觉，就有4000辆汽车。所以更换自己的选择更好。

如果觉得从直觉上难以接受的话，不妨继续思考这个问题：
在什么情况下我更换一扇门会让我赢得一辆汽车？那么当然是在第一选择就选中了一只山羊的情况下。
在什么情况下我更换一扇门会让我赢得一头山羊？那么当然是在第一选择就选中了一辆汽车的情况下。

这两种情况哪种的发生机会更大呢？显然是第一选择就选中了山羊更容易发生。选中山羊的时候换门就选中了汽车，反过来选中汽车的时候换门就选中了山羊。所以第一选择选中山羊的概率和换门之后选中汽车的概率是相等的——既然第一选择更容易选中山羊，那么换门之后就更容易选中汽车。

另一个比较著名的”男女问题“，大概是这样描述的：一位母亲有两个孩子，有人问母亲的朋友A，两个孩子都是女孩吗？这位朋友说：“我不清楚，但有一个是女孩”。母亲的另一位朋友B说：“我上次去她家，看到一个女孩”。朋友A听到，表示不屑：“这和我说的不是一样的吗”。

我们把这段话陈述得再清晰一些。
朋友A的信息获得可以是这样的途径——他直接问那个母亲：你家有女孩么？ 母亲羞射地回答说：有的。
那么，对于朋友A和朋友B来说，他们的信息量一样吗？

假设我们在一个有200户人家的村子里考虑这个问题，每一户人家都有两个小孩。有50户人家是两个男孩，50户人家是两个女孩，100户人家是一男一女。

对于朋友A的问题，50户两个女孩的人家和100户一男一女的人家都能够给出相同的回答。于是对于朋友A来说，他觉得那位母亲有两个女孩的概率是1/3。
对于朋友B来说，他一定没有看见且只看见了一个小孩——不然他就知道两个小孩的性别了。他一定会在两个女孩的人家中看见一个女孩，同时有可能在一男一女的人家中看见一个女孩。对于那100户人家来说，只有50家会被他看见女孩，另外50家会被他看见男孩。所以，会被朋友B看见一个女孩的人家一共有100户，其中50户人家是两个女孩的。于是对于朋友B来说，那位母亲有两个女孩的概率是1/2。

恩，我猜这样的说明更容易理解一些吧。对于三门问题，大家可以来这里围观一个编程进行试验的代码。

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素数无穷多的证法已经很多，为何还有人捣鼓新的证法？

我对此的回复是：勾股定理更多呢~但是这个问题让我好好地想了想，我们一题多证究竟是为什么。确实勾股定理有上百种证明，但是为什么人们会热衷于此？

对于数学，尤其是证明而不是计算这方面，其应用性十分不明显，在较早的时候甚至可以忽略不计。可是人们对很多问题还是报以孜孜不倦的精神，给出了各式各样，千奇百怪的证明。除去勾股定理这个bug级的题目，我们还会发现，《博大精深的素数》一书中给出了9种方法证明素数是无穷的，高斯对二次互反律给出了八个证明，人们对代数基本定理的证明也是不断地发挥着想象力。往小了说去，各种小学、初中练习题特别是平面几何题常常都会让大家“使用至少两种方法说明这个结论”。也就是说，一个结论有许多种证明方法实际上是一种普遍现象，并不是个别题目的出彩之处。我想，大家喜欢一道题用不同的方法，完全是出于自己的喜好或者好奇心，就像做爱用上许许多多的体位一样，每个人都有自己心中的好坏优劣之分，目的都是一样的，只不过选择不同的道路便能看到不同的风景罢了。

而人们使用多种方法进行证明的第二个原因，我觉得历史上最速降线的故事最能给出解答。故事的最简梗概是这样的：某个伯努利提出了寻找最速降线问题，然后许许多多的数学家都给出了自己的解答，而其中在历史上最具有意义的解答是某个伯努利给出的，这个解答导致了后世被大家称为“变分法”的数学分支诞生。围观完整故事请猛击此处。有时候人们为了证明一个不算简单的定理，往往会开发出各种各样的工具，到后来这些工具往往被证实有着很广阔的发展空间和深刻的意义。而一题多证往往本身含有创新与突破限制这样的成分在里面，所以不平凡的题目在面对多解的时候往往更能催生出镀金的花。

第三个原因，我想是因为对于一个题目用不同方法进行证明，能从不同的方面体现出其在不同领域中的特性。例如勾股定理，在平面几何里面，可以转化成面积的关系；如果将它看成是余弦定理的一个特例，那么便抓住了其向量的一面，同时更方便于将其推广到多维空间中。又比如用向量法证明柯西不等式，揭示的是它的几何（向量内积）意义，等号成立的条件也不用那么拗口——只要两个向量的夹角是0就行了，不需要记住“两数列对应项之比相等”这样长长的话语。而且柯西不等式也有其对应的积分形式，同样描述了向量内积的性质。这样的关系，怎是普通代数证明能立马体现出来的呢？

恩……想到的就这些，也是我这个程度所能体会到的内容了吧~不知道能不能很好地回答题目了呢……

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你知道吗？每年诞生上万部电影，但电影的总数却如同石油一般是有限的。不仅是电影，书籍、音乐甚至你的人生都是如此。难以想象？让本文告诉你这是为什么。

如果有人说，你的一生其实就如同被装在一个箱子里面，你会相信吗？你的一生，不会像广告所说的那样“精彩无极限”，我们每天能看到的图像和听到的声音，其可能性其实只是有限多种。

这是为什么？让我们先从电影说起吧。

图像

每个人都或多或少都看过一些高清电影，比如说一部1080p（1080p:垂直方向1080行逐行扫描合成一帧图像）的《致命魔术》。它的分辨率为 1920*1080，也就是说这样的一部电影中的任意一个镜头都含有2073600≈2.1M个像素点。在常用的视频格式中，这样的画质非常清晰，完全能够满足视觉要求。另一方面，科学研究表明，人眼能够辨识大约一千万种颜色。让我们做一个合理而宽泛的假设：每一个像素都有可能呈现出这么多种颜色，那么通过数学计算可以得知，存在且仅存在 种不重样的静态图像。不论是前年的《变形金刚》绚丽剧照还是十年后的菲利普奖的获奖作品，都包含在内。

而在电影视频及数字视频上，每一帧都是静止的图像，快速连续地显示帧便形成了运动的假象。每秒钟帧数越多，所显示的动作就会越流畅。通常，一秒钟 30帧的速度已经足够让眼睛受骗，使人们在脑海中形成流畅的动态画面。于是，我们在一秒钟之内能看见的流畅动画大概就有且只有种这么多（这里以时间秒来作为考量单位）。这个数字大约当于 那么多，庞大，却是有限的。

声音

看电影总得有声音吧——一句广告词说得好：没声音，再好的戏也出不来。在信息论上，我们有一个著名的“奈奎斯特-香农采样定理”，大概陈述是这样的：

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

人的耳朵大概能听见20Hz到20000Hz的声音。在这样的频率下，我们只需要使用40kHz的采样频率便能满足定理的要求。实际上一张CD使用的采样率是44.1kHz。为了简单起见，我们不妨假设视频的音效和一张CD的音效差不多。44.1kHz意味着我们每秒钟要采集44100个声音样本，而每一个样本通常都需要占用16bit的空间，那么每秒钟就会录制16×44100=705600≈0.71M bit。于是可以算出，总共有 种不同的持续1s的声音，同样是有限的。

视频

将声音和图像联系起来就是视频。那么不同的一秒钟视频的总数就是 ！通常，一部电影时长有几个小时，假设一部电影时长不超过两个半小时，这些电影也一定由前述那些不同画面与不同声音搭配而成。那么时长不超过两个半小时的电影总数就是：

我暂时不知道怎么样才能简单地表达出这个式子的结果，因为这个数字大到难以想象，甚至是它的位数都大到难以想象。不过可以确定的是它仍然是有限的。

人生其实就在一个大箱子里

理论上说，给我足够的时间和资源，我就能够造出所有可能的电影。仿佛所有的电影然都被放在一个硕大无比的箱子里，这个箱子里的电影有《狮子王》，《肖申克的救赎》等等。事实上它还包括了所有未来将会拍摄的电影！

望望远处的绿叶，听听周围的声音。

是不是突然觉得你所听见的、看见的综合起来，其实和一部很长的电影并无二致？是的，或许我们的眼睛像素比1080p的更高，或许我们的耳朵采样率比一张CD的更高，但是这一点也不影响“电影总数是有限的”这一基本特征。实际上，你这辈子就像在看着一部电影：

你憧憬那精彩的一生，其实就在一个大箱子里。

但是请不要灰心，即使身在果壳之中，我们依然可以成为无限宇宙之王。猴子在有生之年敲不出莎士比亚全集，我们在有生之年却能做出许多创造历史的事情，简单如洗牌都是如此，原因正是：虽为有限，依然难以重复。

每一次洗牌都在创造历史

你知道吗：每一次洗牌，你都在创造历史。

大家打牌时或许会经常有“怎么和上局这么像”、“怎么又是这样”的感觉。想打到一模一样的牌局？如果你认真洗牌，这样的情况几乎永远不会发生。 1992 年，Persi Diaconis 和Dave Bayer 的一篇论文中提到， 七次交叉洗牌基本上就能让54张牌所有可能的排列概率均等地出现了（参看 这篇文章 ）。你知道 54 张扑克牌的排列共有多少种吗？答案是：

54! = 230843697339241380472092742683027581083278564571807 941132288000000000000

也就是大约 。这是一个非常非常大的数，仅是其数量级就已经接近于整个宇宙的基本粒子总个数了。按照宇宙大爆炸理论，目前宇宙已经有 137 亿岁了，这相当于是 秒。如果从宇宙诞生开始，每一微秒内都有一个人在洗牌，那么宇宙间发生的总的洗牌次数也不超过次。即使这 次洗牌的结果各不相同，和原来的某次洗牌结果撞在一起的概率也只有 10 的 47 次方分之一。

因此，几乎每一次洗牌， 你都能创造一个历史上从未出现的排列顺序。扑克牌游戏的乐趣，或许正在于此——每一个牌局，都是独一无二的。

看到这里，你还会担心自己的独特会被别人在无意中重复吗？

本文出处： SPIKED MATH COMICS : http://spikedmath.com/420.html

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在拍卖里，出最高价者得宝贝，这是毫无疑问的规则。但是这个出最高价者，一定要付出他喊出的价格才行吗？这就不一定了。维克瑞拍卖法就是一个买家不用付出最高价格的规则，它最大的好处，就是能让买家心甘情愿喊出真价钱。

喊多少钱，就出多少钱，是天经地义的吗？

一个古董收藏家为了周转资金，决意卖掉手上的一个宝贝花瓶，于是准备举行一场别出心裁的拍卖。这个拍卖的规则如下：

买家将他们的报价秘密地封装在信封里，然后递给收藏家；
出价最高的人会以自己的报价从收藏家手中拿走那个花瓶。

这个拍卖被称为“第一价格密封拍卖”。它的规则看起来很有道理，但却可能出现这样一个问题：如果花瓶确实价值连城，但是如果大家都耍了个心眼，以为只有自己才是识货的行家，便随意地提交了一个不太高的价格。那么最后有可能是某一位买家花个小价钱捡个大便宜，这个收藏家只能捶胸顿足痛心疾首了。

同时对于买家来说，这样的拍卖方式同样很能让人脑力耗尽大费周章。虽然每一个买家心里都会对这个花瓶开个估价，但是为了赢得这次拍卖，还需要对其他人的出价进行尽可能准确的猜测或者是私底下对整个局面搜集大量情报，才能很好地制定自己的战术。
既然卖家冒着巨大的风险，而买家又在绞尽脑汁，将大量精力投放到了搜集局面信息上，我们有没有什么办法能够解决这种拍卖法带来的问题呢？

维克瑞拍卖法，让买家心甘情愿喊出真价钱

其实，还真有这么一个拍卖方法能解决上述疑虑，只要将上述拍卖的规则修改了一点点：

买家将他们的报价秘密地封装在信封里，然后递给收藏家；
出价最高的人会以第二高的出价从你手中拿走那个花瓶。

一眼看过去，大家可能会不屑地笑道：这不是让卖家的收入更少了嘛！确实，乍一看，本来买家就有可能投机出低价，现在你居然建议买家只用花第二高的价钱便可拍下花瓶。可是这样的拍卖真的对卖家不利么？不一定。

假如你是一名买家，精明的你一定会事先在心中对这个花瓶默默开出了一个价格，这时所有其他买家的出价情况不外乎两种（假设一般价格之间不会相等）：

1. 他们的最高报价高于你的心理期望价格；2. 他们的最高报价低于你的心理期望价格。

我们将以上两种情况列成下表，方便梳理买家出价的逻辑：

因为任意一个买家报价时都不知道他人的报价情况，也就不能知道他人的最高出价是多少，所以唯一的选择即是让实际出价等于心理期望，这样无论他人报价情况怎么样，自己都能得到最好的结果。

那么为什么在第一价格密封拍卖中，买家有可能出现压低价格的情况呢？因为如果买家出价和心理期望价格相同，就算得到了拍卖品，也不过是等价交换，没有产生收益。但把价格压得越低，自己的利润越大，所以第一价格会为了利润而产生压价的心理，即使有风险也愿意去赌一把；而在维克瑞拍卖的规则下，压低价格则纯粹是在增大自己的风险却无法增加自己的利润。
如果每一个买家都遵从这样的符合自身利益最大化的出价规则参与拍卖，那么卖家之前对投机者的担心自然就被打消了；同时对整体信息的掌握和评估对买家来说已然多余，那么买家就能把主要精力放在对花瓶的精确定价上来，节约了很多资源，同时也有可能吸引更多的买家前来竞标。

维克瑞拍卖的弊端以及改进

这样一看，收藏家所担心的问题应该解决了：他的收入一定等价于这些买家中第二高的心理期望价格。但是这是一个完全依赖于买家的心理价格水平的定价，所以卖家可能会碰到另外一个问题：如果所有买家中只有一个有眼光的人开出了较接近真实价的最高价，但是因为其他人的鉴赏能力有限导致第二价格过低，卖家仍然要承担损失。曾经新西兰政府就用维克瑞拍卖，杯具地以6元钱卖出了某个通信频段。

同时，如果部分买家不遵守游戏规则，甚至是与卖家一起串通合谋，那么单纯地使用“诚实法则”便不能保证你的收益。于是，第二价格密封拍卖实际上是让卖家摆脱了投机者带来的风险，转而承担起了买家可能鉴赏能力不足的风险。

所以其实维克瑞拍卖在实际运用中并不常见，更多的是从它出发进行的一些变型。

一种最常见的变形思路便是让所有的买家进行多轮密封价格竞标，每次都公布本轮的最高价格，这样可以弥补对场上局面不了解的不足，同时也能起到一定的监督作用。一个名为“广义第二价格拍卖”[1] 的推广方法甚至被谷歌运用到了自己的网络广告系统 AdWords 当中。但是一般进行了多轮的竞标活动最后的结果往往带有不确定性，让人们难以使用数学和经济学等工具精确地分析拍卖结果。

不知道各位看完此文，是不是有兴趣拿起手边的一些小物品，准备和身边的朋友针对“第二价格密封拍卖”做一次实验了呢？
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_second-price_auction

本文原载于果壳网

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数学分析是一个通过严格的逻辑关系建立起来的理论体系，其中的每一个定理都有着牢固的理论基础。而数学分析研究的内容比较特别，它很多时候着重于分析中最最基础的问题。比如“单调有界数列必有极限”或者是自然数的阿基米德性，我们看到这样的问题第一反应肯定是：显然嘛！确实，这样的问题之所以让我们觉得“显然”，就是因为它阐述的性质非常容易被我们接受。但是这些命题的正确性真的都直白到了无需证明即可默认为真的地步了？其实未必。在实变函数中也碰到了不少这样的例子，上星期的实变函数课上我和TX还就某一个问题是否“是显然的所以对其的证明没什么意义”进行了一番讨论。

声称一个问题是“显然”的，必须要负起全部的责任，因为只要你没法严格地证明出来，那么便有可能被对手翻盘。如果没有魏尔斯特拉斯大神告诉你，那么你敢去想象一个“处处连续处处不可微”的函数么——这可是几代大数学家都想不到的事情。如果不知道巴拿赫-塔斯基定理，“一个头变成两个大”也不过是句嘲讽的话。还有更多的例子，一条直线上的点数和平面上的一样多，康托三分点集占有的区间长度为0，其基数却也是连续统……也许会有人说，分析这种东西都是抽象的，不像几何，我对着这个眼见为实的东西说一句显然，这总没人黑了吧——君不见，非欧几何天上来！当年欧几里得祭出第五公设，大家都认为这是显然的，虽然这个“显然性”隐隐约约有一些只可意会的东西搅杂在里面，于是到了近代，非欧几何横空出世，大家恍然大悟，原来第五公设这样的公理仍然并不“显然”。

其实我们说一个命题“显然”，真正的意思是指这个命题在直觉上很容易被大家接受，即不容易一下子找到漏洞或反例推翻它。通过前文可以了解，这个直觉上的正确性和命题的正确性其实是没什么关系的。一些很基础的定理，譬如“皮亚诺公理下的自然数系统满足加法交换律”这样的句子确实是直觉上可接受，但是并不是一眼就能看出正确性的命题——打开一本分析类教材的辅助练习，你便能找到很多类似的命题，一个个极尽隐藏特例之能想方设法骗到你。所以越是直觉上能够接受的东西，我们反而越应该对其保持一种严谨的紧张感，要么从定义、公理入手有条不紊地证明它，要么一针见血揭开它的伤疤。

而至于那些我们咬牙切齿的高中数学习题答案中的“显然”，只不过是出题老师在向我们张牙舞爪而已：这个推理从他的直觉来说不难接受，所以显然咯，你觉得直觉难以接受只是水平所限耳╮(╯_╰)╭当然，这时候保持怀疑是正确的，因为老师的直觉也可能犯错，不过更多情况下他并不是写不出这个证明，而是嫌写出的证明太繁琐，脑子里一下子就把证明的步骤列出来了，就索性用“显然”来恶心你一下。

仔细想想，这有点类似一个语言学上的问题，但是常常在数学上备受争议。如果大家都能够意识到直觉在数学逻辑上的地位之低下，那么也就不会随口而不屑地说“显然”了——当然，装B党除外！

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如果我们有两个英雄X和Y，他们每次攻击造成伤害的数学期望是一样的。那么如果他们的攻击目标Z的血量无限，在经过足够长的时间之后，他们造成的总伤害期望也应该是一样的。
但是实际上，DotA的英雄血量并不是无限的。这时就会有一个问题了，让X和Y对打的话，谁赢的几率大一些？

于是我对这个问题进行了一下自己的思考，同时也挖了一个坑。

先简单叙述一下SQYBI牛的问题：假设英雄Y的攻击力稳定为一个值，英雄X的攻击力在上下限中浮动，同时具有暴击——就是一定概率打出k倍于平时的攻击力，其中假设这两个英雄的攻击力期望值相等。然后让这两个英雄分别攻击具有同样血量的目标（护甲什么的其他因素一概忽略），那么他们的攻击次数的期望谁更少？

将这个问题抽象出来便是：在数轴上有两个动点X和Y位于0点，Y每次向右移动的距离是固定的，X向右移动的距离是不定的，但是两个动点移动距离的期望是相等的，现在问要到达或者超过点L，X和Y哪个点移动的次数最少？希望这样叙述一遍之后不会再造成一些不必要的误解了。下文依旧按照原题背景进行分析讨论。

我开始在原背景基础上尝试建立一个简单的模型。假设目标的血量是L，英雄X的普通攻击力是A——此处先不考虑攻击力在上下限中浮动的问题，即只有普通攻击和暴击两种情况。打出暴击的概率是p，暴击能打出k倍于普攻的攻击力。那么X的攻击力期望值就是，这个也是英雄Y每次都稳定的攻击力。显然得到Y的攻击次数便是（取天花板数）。主要问题便是分析X的攻击力。假设X在整个攻击过程中打出了t次普攻，s次暴击，那么可以得到一个不等式 。显然，对于每一组(t,s)，这都是一个贝努利实验，于是每一组(t,s)对应的情况出现的概率便是

接下来便是确定t和s的取值情况。对不等式进行变换，便可以得到 ，由于s是满足此式的最小整数，那么便能得到 。所以我们能够通过t来确定s。显然的，t的取值范围是，那么与概率式相结合，我们就得到了英雄X的攻击次数期望：

其中

下面便是真正困难的地方了：我们求出了两个英雄的攻击次数期望值，但是难以对它们进行比较。于是我便考虑通过mathematica对这两个情况进行分析，情况如下：

以上是我的代码，即将概率p视作连续因变量进行作图分析，在下面的几幅结果图中，靠右的一条线是英雄X的，分段的线是英雄Y的结果

A=20,k=4,L=200的情况

A=30,k=4,L=200的情况

A=20,k=4,L=350的情况

A=20,k=8,L=200的情况

通过上述mathematica对一些参数的具体值进行的分析结果，我们可以得出，英雄Y的期望攻击次数确实是小于英雄X的，也就是说对于同样血量的目标，拥有稳定的攻击力能够用更少的次数击杀掉它。

下面的坑便来了：我试图进行更一般的分析。假设英雄X的攻击力为，对应的击出概率为。那么便有攻击力期望。此时易得Y的攻击次数。假设在整个攻击过程中，英雄X进行了次攻击力为的攻击，那么我们也能同样地列出一个不等式：。对于每一组，都能通过多项分布的公式计算得到此组数出现的概率是

然后仿照前述方法便可求出期望，但是式子异常繁琐。通过mathematica对一些参数的具体值进行分析可得到，基本上Y的攻击次数还是大于X的攻击次数的。

现在的坑就是：怎么样通过分析上面的期望表达式进行一些定性分析。例如我可以猜想打出暴击的概率越大，暴击的倍数越小，则攻击次数期望越接近。或者是分析当两个英雄都不是稳定攻击力时，在攻击力期望相等的前提下怎么比较攻击次数的期望大小。我认为只有讨论了这些，才是对这个问题的彻底解决。

恩，暂时就能想到这么多，不知道SQYBI牛和读者有什么想法~~

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对于这个问题，想必大家最了解的便是“对角线法”，因为这是最初康托所用的方法。然而如果我们使用数学分析中的方法，便可以用一种十分简洁的办法来证明。

首先，我们要用到的知识是区间套定理，我之前在这篇文章里提到过这个定理：

区间套指的是这样的一系列区间：且 。那么对于每一个区间套，都存在一个唯一的实数满足 。

下面我们就开始使用区间套定理来证明[0,1]上的实数数量不可数。这个证明十分的简洁：

如果[0,1]是可数的，那么它可以表示成{x1,x2,x3,…,xn,…}。现在把[0,1]三等分，那么总有一个闭区间I_1不包含x1,把此区间继续三等分，总有一个闭区间I_2不包含x2。如此继续这个过程便得到一个区间套{I_n}，即区间I_n。根据区间套的性质，必定存在一个实数X，它属于这个区间套中的所有区间。但是不难发现，这样X就不会出现在{x1,x2,x3,…,xn,…}中了，于是产生矛盾，即{x1,x2,x3,…,xn,…}无法完全包含[0,1]里面的所有数，证毕。

其实证明中之所以要三等分，是因为如果二等分的话，等分点有可能就是某个可列出来的点，所以分点反而可能正好是我们想排除的那个点。于是嘛，标题其实是为了和以前的两篇类似的文章归并一下，并不十分严谨的~

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虽然听起来很可怕，但是线性规划其实是很容易理解的东西。

简单介绍

嘛，大家在高中里面也应该做过这样的题目：

最大化：

满足：

这是二维情况下的线性规划，大家当时的解法恐怕都是在平面上画出相应的图形，然后平移目标函数对应的直线来找到目标函数的最优值。

从这个想法很容易推广到变量个数更多的线性规划问题。比如在拥有三个变量的线性规划中，约束条件由二维时的直线推广到平面，可行域由二维时的半平面推广到半空间。

同样地n个变量的一般线性规划也可以如此推广（n维超空间，n-1维超平面什么的….）

如果说三维还在人的想象力所及的范围内，那么n维的线性规划要怎么解呢？

直觉告诉我们，线性规划的最优解总是在顶点处取到（事实也是这样，证明略），于是我们可以联立变量数个方程，解出顶点坐标，带入目标函数。这样的算法，对于n个变量，m个约束条件的线性规划问题，其复杂度为

而这个复杂度也就是线性规划中常用的单纯形算法的最坏复杂度。

我将不在此介绍单纯形算法。

以上是对线性规划的简单介绍，下面要讲线性规划问题在网络流问题中一个比较有用的性质，对偶性

对偶性

所谓对偶性是指，对于每一个要求目标函数最大化线性规划问题，都有相应的，目标函数是最小化的线性规划问题，这两个问题有相同的最优解，其最普遍的体现就是一些最大/最小定理，比如最大流最小割定理可能是最广为人知的了。

现在先让我不失一般性地定义一下一个线性规划问题：

最大化：

满足：

注：这个定义是“一般的”，任何一个线性规划都可以转化为这种形式（松弛型），具体留给读者思考好了。

然后定义其对偶式：

最小化：

满足：

所谓对偶，就是将约束条件与变量互换（回忆射影几何中的对偶），于是一个最大化问题变成了一个最小化问题，现在要证明的是这两个问题的最优解相同。

（以下证明来自算法导论第二版，引理29.8）

引理：线性规划中的弱对偶性

令为原问题的一个可行解，为对偶问题的一个可行解，则：

证明：

（见对偶式的约束条件）

（见原问题的约束条件）

于是现在问题变成这样：只要找到一对可行解，使

那么线性规划的对偶性就得到了证明。

关于这个解的存在性问题的证明，将会涉及到单纯形算法的细节，所以在这里只是简单、不严密的讲一下：

我们在原问题的约束条件（(*)式）左边加一项，并将不等号变为等号（）

可以看出，这样并不会改变原问题的最优解。之后通过对变量的互相替换，我们最终可以将目标函数化为如下形式：

N表示所有出现在目标函数中的变量的下标所组成的集合。

那么取就是对偶问题的最优解。或者令，那么就是取。

当原问题的目标函数化为如(1)的形式后，最优解是明显的，即令，取得。

现在只要说明，可以使对偶式的目标函数也取值即可。

取上文中扩展后的定义，我将不加解释地说明这一点：

因为这个等式对于任意的，取值都成立，则必定为0（令所有）

所以此时，命题得证。

（对于不理解(i)式的人，再看看修改后的约束条件）

关于线性规划这个基础知识的介绍就到这里，下一篇大概会定义“网络”是什么“流”是什么

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