相信很多时候大家都会碰到这样的问题，概括起来说就是：对于两份样本求平均数，一般不会完全相等的，那我们如何得知它们所在的两个总体的均数本身就有差异，还是由于抽样的误差所导致的呢？或者类似的，对于一份样本和一个事先假设的均数，我们如何判定这份样本所在的总体的均数和我们的假设相一致？

下面先讨论单样本的情况。既然我们认为样本的均数不能代表总体的均数，主要是因为抽样会有误差，很多情况不会恰好等于总体的均数。那么我们不妨换一个角度，从样本的均数出发，估计出总体的均数大概会出现的范围而不是其确切的值。这个范围我们就称作置信区间(Confidential Interval)。

由于我们相信样本均数和总体均数之差是符合无偏分布的——也就是说样本均数减去总体均数得到的差是正数或者负数的情况是一样多的，所以这个从样本估计出来的区间应该是“以样本均数为中心向两边等距散开”的尿性。于是我们只要估计出这个区间的半长就好。说来轻松，其实这个不是一件容易的事情。下面我们先引进几个概念，再依靠他们计算出区间半长。这些概念的原理比较深奥，要真正理解需要的知识太深奥，所以我也没能从数学上严谨地进行推导而得出所需的结论，于是只好描述性地介绍下。

一、标准误(Standard Error)

标准误和标准差名字很像，但是作用很不一样。标准误是衡量均数抽样误差大小的尺度。因为各个样本的均数是有差异的，所以如果我们对所有的样本均数进行考察——也就是考察他们的均数以及标准差/方差，那么就会有一些发现。自然，所有样本均数的均数就是总体均数，而所有样本均数的标准差，就是我们所说的标准误，或者称之为标准误差均值(Standard error of the mean)。标准误的公式是 ，其中s是这份样本的标准差，n是这份样本的容量。标准差用来衡量样本中各个值与均数的平均差值，而我们所求的这个标准误差均值实际上也就是对样本均数与真实均数（即总体均数）的平均差值的估计。这个估计已经跨出了我们求置信区间的第一步。

二、显著性水平

注意前文我们说过了置信区间主要是用来“估计出总体的均数大概会出现的范围而不是其确切的值”，那么为了严谨，我们必须准确地定义这个“大概”到底是什么意思。自然地，我们会想到去定义总体均数会落在这个置信区间内的概率。也就是说，总体均数是有可能落在置信区间外面的，那么这个总体均数落在置信区间外面的概率就称作显著性水平，通常用来表示。一般统计学习惯上令，另外一层含义就是总体均数有95%的可能落在我们求出的置信区间之中。

三、t-分布

前文定义了标准误和显著性水平，可以看出，其中有样本容量n，标准差s以及显著性水平三个主要的参数，那么我们的置信区间就与这三个参数有关。如果我们知道了总体的标准差，那么就会好办很多，但是一般情况是不会知道的，所以我们只能用从样本中估算出来的标准差进行计算。一般来说我们默认总体是符合正态分布的，但是我们要如何描述样本的分布情况呢？一位笔名为Student的数学家提出了一个今日称为“学生t-分布”(Student’s T-distribution)的统计模型，可以很好地描述样本的分布情况。这个分布可以根据样本大小以及显著性水平得到一个值，一般来说记做。这个值不能准确地表示出来，只能通过查表得到，在维基上面有。

上图(原图在此)是t分布和标准正态分布的概率密度函数图形，v=n-1，可以看出n越大，对应的t-分布就越接近正态分布，实际上标准正态分布是t分布在n趋向于无穷时候的极限。大家都知道，概率密度函数与整条x轴围成的面积是1。一般来说我们使用t-分布来描述的模型是建立在原总体符合正态分布的基础上的，而将一个正态分布转换到标准正态分布的变换公式是，其中是那个事先假设的均数，当我们不知道总体标准差的时候就使用近似的公式，即——使用估计的标准差s代替总体的标准差。

首先我们根据这个公式处理一下样本，将公式变成，也就是将他转化成“标准t-分布”——这个名字是我自己起的，主要是为了让大家和标准正态分布大概联系起来。接着我们就开始考察变换过来之后的这个值是多少，比如是1。接下来就要用到显著性水平的概念了。一般来说我们使用的是Two-Tail模型——Tail指的就是下图绿色的那块，One-Tail还分为Left-Tail和Right-Tail，他们的共同点就是Tail所占的面积就等于。也就是说Two-Tail分布在如下图的白色范围内，其中一般设。

于是，如果我们手上有一个样本，我们知道了s和v=n-1，那么就可以知道这个样本所对应的具体的t-分布了，先将这个样本标准化，接着我们就可以开始求置信区间了。

四、置信区间

铺垫了这么久，终于开始进入正题了。这个区间怎么求，上文其实也说了差不多一半了。梳理一下我们的思路，假设我们手上有一个容量为n的样本，我们求出了他的平均数和标准差。现在我们想估计产生这个样本的总体实际均数的范围，这个范围就称作置信区间。首先我们要确定这个置信区间的值，一般是设为5%，也就是说总体均数有95%的可能落在我们估计的这个区间中。根据之前所说的t-分布，我们就可以开始计算了。

首先我们可以知道一个区间[-p,p]，使得对应样本的t分布在[-c,c]上与x轴围成的面积为0.95（为什么），接着回忆这个公式：。对我们求出的使用这个公式，其中是未知数，于是我们可以得到如下的不等式：

解这个不等式，得到：

那么，这就是我们所求的置信区间。

其中c的值由n和决定，n决定了t分布的形状，决定了这个区间的宽度。和n越大，c越小。然而改变会导致这个区间的“代表性”的降低，所以我们可以通过增大n，也就是增大样本容量的方法来得到一个越来越精确的置信区间。当n趋向于正无穷的时候，也就是t-分布趋向于正态分布的时候，c约为1.96 。

P.S. 这篇文章终于写完了……看了看wp的编辑记录，我是从7月8号开始写的，本来那天准备一鼓作气写完，谁知写了大半断网，服务器只存下了前两段，当时那个泪奔……然后我就开始军训了，没有足够多的整块时间来写完，而时间的推迟导致了思维的断层，只能每天挤一点，有时候干脆打实况去了。终于今早下雨提前收操，绵延了20天的草稿也终于没有变成大坑。

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我很喜欢这门课，因为它在不涉及概率统计深奥原理的前提下向我们很好地展示了统计学的基本思想方法。统计学作为一门有力的工具，已经成为了各个科学领域都必须运用的（特别是生物）数据分析方法。当初我填报中大的统计学主要是因为数学与应用数学不在广西招生(- -||)，但是学了这个之后，我倒也没了什么转专业的念头了。

估计我会把这个学期的这门课按照我的理解写成一个小系列，大概四五篇文章的样子，和大家交流一下统计学的思想方法。

统计学中最基础的应该就是描述性统计了。这是一个基本上人人都知道的内容——计算平均数，求方差什么的。不过这里面其实也大有文章。

首先我们要明确样本的概念。在我们的研究中，实际观测或调查的一部分个体称为样本，所研究对象的全部称为总体。所以说样本能够从某种程度上代表总体，但是基本上不会表现得和总体一样。统计学要做的事就是从样本中分析出总体，一般人是“管中窥豹”，而我们希望做到“一叶知秋”。在描述性统计当中，我们的方法是通过计算几个统计量，得到对数据的初等认识。

一、集中趋势

说到对样本的计算，可能大部分人的第一反应就是计算平均数。平均数确实是一个最常用的统计量，但是这还不够。教材上都会给出这样的例子：一个工厂平均月薪是￥3000，看上去非常高，但是实际上是工人20名，每人月薪￥1000，中层干部3名，每人月薪￥6000，一名老总，月薪34000。之所以会出现这种情况，就是因为多了“老总”的存在，我们称之为“偏值”(Outlier)。这样的数据对于平均数来说一般是致命的。所以为了描述这样的数据，我们不得不引入另外两个描述的方法：众数和中位数。

顾名思义，众数就是出现次数最多的数，中位数就是整个样本中大小中等的数。他们对样本的解读起到了很重要的作用。比如上面举的例子更适合使用中位数和众数。它们的出现很大程度上弥补了平均数受偏值影响严重这一事实。这三个指标也是各有优劣，平均数对于样本来说是很稳定的，意即不同的样本平均数差别不是很大，而中位数和众数对样本就不是很稳定了。中位数的好处就是不容易受到偏值的影响，而众数的好处就是便于计算，也更方便数据的分类。这三个统计量互相弥补，我们将这三个指标称为集中趋势(Central Intendency)。

二、离散程度

可能还有很多人记得另外两个学过的指标：方差和标准差。这两个指标描述的是整个样本是如何偏离于平均数的，这两个指标在描述性统计之外也大有用途，以后会谈到。除了这两个指标以外，我们还有很多的统计量，比如四分位数（四分之三位数），极差等。四分位数就是处于整个数据四分之一和四分之三位置的数，与中位数一起基本将整个样本分割成了4块。极差(range)便是最大数和最小数的差。这些指标构成了样本的离散程度。

三、分布特征与图表

其实说了这么多，还有一个很重要的东西没有涉及到，那就是样本的“形状”——也就是它的分布特征。一般我们要讨论这个数据是否符合正态分布，是否偏斜——上面的那个例子就是严重地向左偏斜（因为在数轴上从左到右数据是增大的，所以习惯上“左倾”就是向小数据倾斜）。

讨论样本形状的时候，更方便地便是画出样本的图示。有时候图示会给我们带来意想不到的结果。最常用的一般是直方图或是折线图，这样的图示很明确地展示了每一段样本的分布情况。不过他们并不是唯一的，有一种叫做盒须图(box-and-whisker plot)的图示从另一个角度向我们展示了样本的分布情况。

上面就是一幅盒须图，我们可以看出中位数，四分位数，极值等指标。是不是比纯粹的数据描述的离散程度更加直观呢？

以上便是描述性统计的大概内容了。描述性统计是对样本以及总体的一个初等认识，也是传媒对大众进行宣传的时候常用的方法。

最后我们来看一个Matrix67在他的blog上给过的一个例子。

1973年，统计学家F.J. Anscombe构造出了四组奇特的数据。它告诉人们，在分析数据之前，描绘数据所对应的图像有多么的重要。

Anscombe’s Quartet

I		II		III		IV
x	y	x	y	x	y	x	y
10.0	8.04	10.0	9.14	10.0	7.46	8.0	6.58
8.0	6.95	8.0	8.14	8.0	6.77	8.0	5.76
13.0	7.58	13.0	8.74	13.0	12.74	8.0	7.71
9.0	8.81	9.0	8.77	9.0	7.11	8.0	8.84
11.0	8.33	11.0	9.26	11.0	7.81	8.0	8.47
14.0	9.96	14.0	8.10	14.0	8.84	8.0	7.04
6.0	7.24	6.0	6.13	6.0	6.08	8.0	5.25
4.0	4.26	4.0	3.10	4.0	5.39	19.0	12.50
12.0	10.84	12.0	9.13	12.0	8.15	8.0	5.56
7.0	4.82	7.0	7.26	7.0	6.42	8.0	7.91
5.0	5.68	5.0	4.74	5.0	5.73	8.0	6.89

这四组数据中，x值的平均数都是9.0，y值的平均数都是7.5；x值的方差都是10.0，y值的方差都是3.75；它们的相关度都是0.816，线性回 归线都是y=3+0.5x。单从这些统计数字上看来，四组数据所反映出的实际情况非常相近，而事实上，这四组数据有着天壤之别。

把它们描绘在图表中，你会发现这四组数据是四种完全不同的情况。第一组数据是大多人看到上述统计数字的第一反应，是最“正常”的一组数据；第二组数据所反 映的事实上是一个精确的二次函数关系，只是在错误地应用了线性模型后，各项统计数字与第一组数据恰好都相同；第三组数据描述的是一个精确的线性关系，只是 这里面有一个异常值，它导致了上述各个统计数字，尤其是相关度值的偏差；第四组数据则是一个更极端的例子，其异常值导致了平均数、方差、相关度、线性回归 线等所有统计数字全部发生偏差。

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各种小组赛出线规则有着一定的差异，这里只研究世界杯的小组赛——4支球队两支出线，积分相同时依次比较净胜球、进球数、胜负关系等，直到分出优劣。这里的特点在于，胜负关系是靠后比较的，因而净胜球成为积分相同时的主导因素。

来考虑一下比较极端的情况吧，这些会比较有意思。

小组积2分就有可能出线！

小组最低出线分为2分。1分是不可能的——假如你的球队只得了一分，那么你就已经输给了两个不同的对手，他们至少各有3分。

设想这样的一个小组：有一支实力超强的球队A，每战必胜。剩下的三支队B、C、D互相之间都战平，这样它们各积2分，与A队比赛净失球最少的可以出线。

可是这种情形出现的概率有多小呢？我们假定每场比赛出现胜、负、平概率均为1/3，则出现这种情况的概率=4/(3^6)=4/729≈0.55%。

不过，这种小概率事件的的确确发生过：86年世界杯的保加利亚和乌拉圭,小组赛都积2分；54年的德国队就拿了2分小组出线最后还获得了冠军！

小组积6分也有可能被淘汰！

你的球队A有时可能很倒霉，你胜了C、D两支队，输给了B队，积6分。可是D是一支很烂的队，它又输给了B、C。A、B、C三支队A胜C、C胜B、B胜A，同积6分。你的队A可能因净胜球少而调出小组前二。

要想确保你的球队出线，需要7分——此时至少有两个队输了球，不可能再有两支队与你的队同分了。

这样的情形出现概率自然也很小。同样假定每场比赛出现胜、负、平概率均为1/3，则出现这种情况的概率=8/(3^6)=8/729≈1.10%，只比上一种情况概率大一倍。

但是，历史上世界杯中有这样的例子：94年世界杯，荷兰、沙特、比利时都是6分，最后比利时算小分被淘汰。而且，这届世界杯小组赛两轮后，H组就很可能出现这种情形。现在智利6分，西班牙、瑞士3分，洪都拉斯0分，如果最后一场西班牙战胜智利，瑞士胜洪都拉斯（实力对比上这两场比赛很可能是这样的结果），就有一支6分的队伍被淘汰。来看看到底谁悲剧了吧！

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《女士品茶》读书报告

——关于概率的思考

《女士品茶》这本书按照作者的说法，是一本适合于不懂得或者略懂数学的人进行阅读的书。全书以“女士品茶”这一个早期的统计学实验开始，详细地叙述了一个多世纪以来统计学的诞生和发展的历史，在一个个精彩的人物和故事中将统计学各个领域的思想向读者进行了简明扼要的介绍。

在我看来，这本书的内容从学术的角度来说写得比较软，但是让这本书成为经典的不是其中的学术分析，而是其视野的独特和广阔。全书用了一百多页的篇幅将统计学历史以及现在的整个统计学发展轮廓涵盖其中，确实是让人入门统计的一本好读物。

这本书还有另一个让我觉得提升了其自身价值的地方，那就是它毫不避讳地指出了当下统计学中遇到的困境。比如现在统计学遇到的哲学困境：概率是什么？书中列举了三个尚未有定论的问题：

1.可以同统计模型来做决策吗？

2.当概率应用于现实生活中时其含义是什么？

3.人们真的懂得什么是概率吗？

书中已经写到，数学家们已经通过公理化的方法稳固了概率论在数学上的地位，但是当下数学和生活密不可分，统计学更是在各个领域皆有用武之地。所以我们应该仔细地想想上面的三个问题。

一、可以用统计模型来做决策吗？

按照最标准的数学史，概率论是从费马和帕斯卡研究一个赌徒所提出的问题而产生的。所以应该看出，概率论能够发展到今天，其实是由于大家需要进行决策所带来的动力。这门学科本身就是为了指导人类行为而产生的。但是这里问到的统计模型却又是另一回事。为了说明在这里遇到的困难，书上提到了一个显著性检验的悖论。假设显著性水平设定为0.0001，那么我们可以组织一次公正的10000张彩票的抽奖活动，其中只有一张只中奖券。按照这个假设，第一张彩票中奖的概率为0.0001，于是我们拒绝这个假设，依此类推，我们可以拒绝任何一张彩票中奖这个假设——但是，这些彩票中必然有一张会中奖。矛盾就在这里。

在我个人看来，其实这并不是矛盾。假设检验是有检验效能的，每一个断言都有错误的概率，对10000张彩票进行检验，要想不犯错的概率是非常低的。所以说我们可以同统计模型来做决策，但是不要将其结果当成断言，而是当成一种可能性分析，即这件事情发生的概率是多少。如果接受了概率，那么自然统计模型能够对我们做决策进行指导。

现在的问题转移到概率了。

二、当概率应用于现实生活中时其含义是什么？

我准备在这里对概率在实际生活中进行一种比较科幻的解释，先说说物理学。

当科学家们开始研究量子力学的时候，发现对实验现象的描述不可避免地要使用概率论。双缝实验，不确定性原理，电子云等量子力学中出现的违反直觉的现象让大家开始思考，什么才是真实。爱因斯坦说过：上帝不玩骰子。但是物理学的发展似乎正在推翻这个结论。下面说一个物理学中的假想实验。在一个内部真空的盒子中放入一个电子，我们不去观测它。量子力学说，我们无法知道它究竟在哪。如果我们某一时刻用一块板子插进盒子将其分成两部分，那么电子必然在某一边——可是我们无法预测在哪一边！如果两部分体积相等，那么电子出现在某一边的概率就是50%。只有当我们实实在在地进行观测时才能够知道那个电子究竟被分到了哪一边。根据量子力学理论，观测之前这个电子既在这边又在那边！整个物理学以前从来没有接受过概率理论，那么显然，就算是为了爱因斯坦的那句话，物理学家中也必须有人做些什么。

于是有人在1957年革命性地提出了一个观点。这个人就是休·艾弗雷特三世，他的理论叫做“多世界诠释”。多世界诠释认为，观测时分离出多个平行宇宙，每个宇宙都有一个确定的状态，而我们只是在其中的一个特定宇宙。根据这个理论，我们观测上述的电子实验时，已经分离出了两个平行宇宙，一个是在左边，另一个是在右边。这两个宇宙会互不干扰地存在着。甚至可以这样理解，我每抛一次硬币，就会分离出一些平行宇宙，其中一些宇宙中的“我”得到了正面，另一些宇宙中的“我”得到了反面。于是我得到正面还是反面的概率实质上就等同于这一次抛掷硬币分离出的“正反宇宙”数量之比。

这个理论的一个优点在于，我们无需对概率进行更多的解释，物理学家已经帮我们避开了现实世界中所谓的“概率”。既然不存在概率，那么我们就不需要讨论概率在实际生活中代表什么了。

这个理论看上去有其很明显的缺陷。平行宇宙是一个一个的，也就是说最多分离出可数个。但是概率常常与无理数结合紧密，例如布丰的投针实验的概率就涉及到了圆周率。这种情况下无法使用“平行宇宙数量之比”进行研究。但是物理学家声称，宇宙中有最小的长度单位：普朗克长度。也就是说，我们的世界其实是离散的，由很微小的点“逼近”出一个连续的世界的模样。所以，数学上对连续空间中的概率分析恐怕在这里就不适用了，因此也不会出现无理数。至少在这一点上，使用平行宇宙来解释实际生活中的概率论没有什么问题。

三、人们真的懂得什么是概率吗？

这是作者列出来的最后一个问题。看上去我对上一个问题的回答改变一下也可以套用在这里，但是鉴于作者的这个问题主要侧重于人们对概率的心理认知，于是我也从这个角度说说我的想法。

对于作者这一段的论述，我基本赞同苏佩斯那个简单的概率模型。人类的心理是模糊的，对概率这样尚未有正确认识的事物更是无法如手术刀般精准地划出上百个等级，只能分出一个大概。如同作者所说的：“天气预报员尽力想区分降雨概率90%和75%间的不同，但实际上他们根本不可能说清楚。”

不过话说回来，这些在概率上的精确有用吗？在赌博上，在经济运行上，概率应该确实是有用的。但是，就比如天气预报中的90%和75%，我会为了这两个概率没有到达100%而出门赌一把不带伞吗？当这些概率不能通过明白直接的计算得到一个期望，而我们却希望从中得到一些指导性意见时，人脑只能将其分成几个大类，有点类似“全部，大部分，一半，小部分，没有”这样的比例描述。这样的分类对于绝大部分情况都够用了，一般人心里都会这样做：把“大部分”当作“全部”，把“小部分”当成“没有”。至于“一半”的情况，我们常常会听到“我有硬币，你要不要抛一抛”之类的言论，也就是说其实我们对这种情况无法进行简单的优劣判断，需要外界来帮忙。

人类进行决策的时候更多依靠直觉而不是理性，所以说，是否对概率有了精确的理解对于人们的日常决策并没有多大的帮助。

小结

以上便是我在读完了《女士品茶》这本书后对概率的思考。统计学作为一门应用性学科，我们必须要对其理论与生活的结合有深刻的了解。我认为，在概率上进行的深刻思考对统计学的发展会有很大的作用。因此我对作者提出的几个概率论的问题进行了简单的思考。

书中所描述的20世纪是一个统计学蓬勃发展的世纪。我认为，21世纪是一个概率统计能够被每一个人所接受的世纪，概率将会成为每一个人的生活基本常识。这，大概需要一位书中时常提到的“还未出现的天才”来带领吧。

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题面如下：

横向：
一：被人们誉为“分析的化身”
二：射影几何上一个有名的定理被命名成他的名字
三：法国物理学家和数学家，以中值定理为大家熟知
四：无穷集合论的提出者
五：提出了最小二乘法的法国数论家
六：提出了著名的23个数学问题的德国数学家
七：三次方程求根公式的命名人
八：与牛顿各自独立地发明了微积分
九：最著名的自然数公理系统提出者
十：以他的名字命名的函数只能写成级数形式
十一：法国英年早逝的天才数学家
十二：制造了第一台计算机的人
十三：他提出了根据x是有理数还是无理数来决定结果的函数
十四：死前大呼“不要弄坏我的圆！”
十五：命名了一种沿着边能够访问每一个点恰好一次的图
十六：控制论的创始人
十七：俄国有名的数学分析教材作者
十八：《科学美国人》上的趣味数学专栏作家

纵向：
1：同时是一种编程语言、物理单位和三角形
2：俄国数学家，以他命名了一个不等式
3：我思故我在
4：现代计算机原理之父（最后的叶子建议为“EDVAC发明者”）
5：被称为古希腊的孔子
6：数学分析最经典习题集的作者
7：法国物理学家和数学家，著有《动力学》
8：古希腊最伟大的全才
9：著有《一个数学家的自白》
10：古希腊的天文学家，提出了地心说（三字）
11：命名了判定三线共点的定理
12：逻辑变量“真”与“假”的提出者与命名人
13：与哈代共同发表上百篇论文
14：著有《几何原本》
15：提出了万有引力定律

感觉创作这个比较难的地方是有重复的字太单调了，老是什么“德”啊“尔”啊的，烦死。而且注意横向的第10个，是三字的……这个是整个填词最不好看的地方，但是水平有限，没有想到什么补救的办法。

今天摆在外面经过各种路人的补充，收摊时没有人填出来的空还剩下了四个，分别是 七，十二，十八和13。

欢迎大家在下面贴出自己的答案~如果有错误或者疑问也可以提出来~不排除那些描述会带来歧义，这时应该选择能够帮助完成游戏的那一个，当然我也不排除会出现多解的可能（虽然说我没有故意设计多解）。为了方便大家编辑，这里弄了一个可编辑的Doc版题面，猛击下载。

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这个双射的难点就在于，我必须要有办法从z还原出两个不重复的值。可惜我十几分钟都没有想到怎么使用初等函数够造出这样的函数(- -|||)，于是我决定换一个角度来思考这个问题。

受到经典的对角线法的启发，我突然想到可以尝试逐位讨论小数点后的数字。于是，一个大概的雏形就出来了：记

。

那么我令

，

这样我们就可以从z还原出x和y了。不过现在多了一个问题：如果

，

那么我们就还原出了

，

那这个实质上就是而不是上的点了。那么我们索性定义x,y是属于，这样映射出来的z就属于。如果我们能够再找到一个双射从到，另一个双射从到，那么我们就可以传递式地得到一个从到的双射。

这两个双射都是比较好构造的。先看一维的那个吧，因为二维的要用到它。这个双射可以定义为一个分段函数:

。

这样就ok了。那么二维的双射呢？只需要将映射到就好了，定义这个映射为。再令之前的二维到一维的函数为，则我们所要求的映射

，

意即

显然这是一个双射。终于达成~

其实我觉得这个是不是复杂了？感觉一定会存在一个很巧妙的分段函数……应用到了z的某一个性质，能够分解成两个唯一的数的关系。可能是在一个方程中设立两个参数，让参数与方程的解对应起来……恩，坐等老师的想法，估计半个月后更新。读者有什么想法也在下面留言吧~

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1.最后的叶子看着Malloc，Malloc看着寺雷颠。假设最后的叶子已婚而寺雷颠未婚，那么是否有一个已婚人士看着未婚人士？A.有的 B.没有 C.不能确定

你会选哪一个呢？是不是AC？

如果你选择了AC的话，那么你就中计了~虽然说我们不知道Malloc的婚姻状况，但是仔细想一想，无论他已婚还是未婚，都存在“有一个已婚人士看着未婚人士”这样的情况——或者是最后的叶子看着Malloc，或者是Malloc看着寺雷颠，这两束目光总会有一束满足要求的。

2.假设有一种病叫做SH综合症（看了南方公园S14E01的都懂），这是一种发病率为千分之一的严重疾病。现在假设有一种检测手段绝对不会误诊真正的病人——即如果你的了这种病，那么一定会被检查出来。但是这种手段却有5%的概率将一个正常人误诊为发病的人。那么假设你的检查结果显示你患有这种病，那么实际上你患病的概率是多大？

你会说95%吗？80%？其实都不对。首先注意到，1000个人里面只有1个患病，那么对于剩下的999个人来说，他们有5%的概率“被患病”，也就是差不多50个人，这样，每1000份报告当中就会产生51个阳性，那么这些报告其实只有一份是正确的——所以，一份阳性报告得到正确结果的概率其实只有1/51，还不到2%！其实这就是一个很容易让人误解的概率问题（其实说起来，概率问题虽然分析起来不难但是最广为流传的就是蒙特霍尔山羊问题）。这里有一篇相关的文章，里面提到了贝叶斯公式，大家可以去进一步学习~

3.桌上有四张卡片，每张卡片的一面是数字，另一面是字母。现在，你看到的四张卡片朝上的一面分别写着 ‘A’，’K'，’8′和’5′。假如严酷的魔王说：这些卡片中若字母面为元音，则数字面是偶数。那么，你要翻开哪些卡片来检验这条规则的正确性呢？

SA上面号称大约有一半的人回答应该翻开A和8 。翻开A自然没有什么问题，但是你想想，翻开8真的能起到什么检验的作用吗？其实这个游戏的原理使用了这样的一条规则：“逆否命题与原命题等价”。所以说，对于原来的规则，它相应的逆否命题就是“如果数字面是奇数，那么字母面就不是元音。”照这样的规则，我们应该检查一下5的反面是不是元音，如果不是的话这条规则就成立了。那翻开8为什么不对？其实是因为通过8来检验字母面其实相当于原命题的逆命题：即若数字面是偶数，那么字母面就是元音。仔细地想一想就会发现，逆命题的正确性和原命题的正确性是没有多大关系的。比如，“如果一个人从20层自由落体到地面，那么他就会死掉”以及它的逆命题“如果一个人死掉了，那么他就是从20层自由落体到地面的”，相比之下，后者显然不能因为前者是比较正确地从而推出自己也是正确的。

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这里是一个很赞的Rap~改编自Eminem的Lose Yourself，作者是Fort Vancouver H.S. in Washington的数学系学生们。但是那里给出了一个Youtube的链接，所以我传到youku了（顺便赞一个中大的上传速度……近500kb/s，只可惜下载速度就没有那么好了）。其实原文也特别“贴心”地说了一句：Or, if you’re unable to access YouTube, you can watch or download the video here.闲话少说，先来视频。

然后还有歌词附送(来自这里)：

Look, if you had…one shot…one opportunity…
To recite the digits of the number pi… One moment…
Would you capture it… or just let it slip?

His palms are sweaty, knees weak, head is heavy
The numbers cloud his vision already, keep it steady
He’s nervous, but on the surface he looks calm and ready
To re-cite, but it’s not quite off-settin’

That he’s froze now, and the whole crowd knows he vowed
To get it perfect, but the numbers won’t come out
He’s chokin’, how – everybody’s jokin’ now
Three point one five—woops—kablouw!

Snap back to reality, oh, it’s a malady
Oh, it’s so random, he choked
He can’t stand, but he won’t give up
That easy, no
He won’t have it, he knows – all his fans really hope
He can shatter the glob…

…al world record of Fo’…
…rty-two-thousand*, although
If-he-looks down at his notes, he knows that’s when it’s
Back to the learnin’ by rote
To feel rapture
He’d better capture those digits a little faster

You better lose yourself in the digits of pi, it’s a high
But you got a thousand more to go
The numbers do not stop
Or drop into pattern, no
And memorizin’ ‘em takes most of a lifetime

If I’m not mistaken, my memory’s wakin’
This number’s mine for the taking
Hear it ring, as I list all the, digits in order
And whole numbers are borin’, approximations just keep me snorin’,

Pi only grows longer to get more precise
A rounded-off fraction just won’t cut the ice
So twenty-two sevenths, you take my advice
If I catch you round here, you will

Pay the price, so give up this façade,
Ray-shee-os are oh so flawed
They close the door to those who like infinite
Strings of oh’s, 2s, 9s, 3’s, and 6’s, it

Shows the woes of-all-the schmoes who chose
To forgo Pi’s logic, and I
Don’t suppose those bozos applaud it
When I throw down the gauntlet, with a
“Three point one four”… I got it!

You better lose yourself in the digits of pi, it’s a high
But you got a thousand more to go
The numbers do not stop
Or drop into pattern, no
And memorizin’ ‘em takes most of a lifetime
Pi is 3.141592653589793238462643383279…

No more games, I’m-a bust right outta my cage, and
Get my Pi-recitin’ groove on, on this here stage
I was playin’ in the beginnin’, the mood all changed
I been broken up from soakin’ up this whole page

But I kept churnin’ and kept learnin’ to decipher
The rhythm of the number that makes me so hyper
All the pain and strife amplified by the
Fact that I can’t get back to my life, I’m

Whacked and I don’t exactly know why, I’m
Acting like I am attracted to Pi!  So
Back to a kid jam-packed with random numbers
I think this whole process is makin’ me dumber

It still shakes me up, man, it makes me sentimental
That a number so essential is also transcendental
Caught up between bein’ in fashion and bein’ irrational
It’s passion flashin’ through my brain
Whenever I explain it

I just think pi is nice, Would you… like a slice?
I’ve gotten to the point, it’s like a vice, I’m not
Afraid of gettin’ caught, but still it hurts a lot
Success is my only mathematic option, failure’s not

Pi, I love you, but these people got to know
A million tiny circles haunt my every thought
So here I go with my shot
Brain, fail me not,
This may be the only opportunity that I got!

You better lose yourself in the digits of pi, it’s a high
But you got a thousand more to go
The numbers do not stop
Or drop into pattern, no
And memorizin’ ‘em takes most of a lifetime
Pi is… 3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459…yeeeah.

You can do anything you set your mind to, man.  Even memorizin’ pi.  I’m out.

* We realize that the new world record (though not yet verified) is 100,000 digits.  The song was written when the record was 42,815.  We stayed with the original number, because frankly, it fits the rhyme better!

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即使我不说，估计所有人都知道上图中唯一的空格应该填上38。除此之外，你还能发现什么规律么？

我能告诉你，至少还有一条规律是这样的：在大小上相邻的数字之间的位置也相差不远，都互相在对方的周围八格内，即，如果从1开始往下遍历数字，会发现从下一个数字总是在上一个数字的左右上下的或者对角方向的相邻位置上。

是的，这次我推荐的游戏就是这样的规则：让图中的数字能够从小到大连成一条不间断的线——不管是横的竖的还是斜的。游戏的名称叫做Hidato Adventure——Hidato是以色列数学家Dr. Gyora Benedek发明的有着如上述填数规则的数字游戏。先不妨玩一玩，看看下面这幅图你要花多久来填满？深黄色的格子是挖空的，不需要填。注意，有公共边或者公共顶点的格子都可以填入下一个数字哦~

这个游戏保证只有一个解，同时比数独灵活的地方就在于它的格子形状可以千奇百怪，在方格中间挖孔是最常见的方法，还有爱心形状的啊，骷髅形状的啊，只要你想得到就能够画得出——规则越简单，可能性就越多样。不过目前我还没有总结出什么比搜索更好的方法，剪枝也就是简简单单地先将所有的唯一解（包括填了唯一解后新产生的唯一解）填满，然后继续深搜……关于解题的其他新想法欢迎在下面留言讨论~~我的是在幻想游戏上下载下来的单机版本（名叫数列大冒险……），而这里是官网上提供的在线试玩地址（貌似只有一关~囧）。

上题的解法见下图：

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在这篇短文中我们将对于素数无穷性给出一个初等的“拓扑”证明。我们在整数集合S中，取所有算数级数的基，S可成为一个拓扑空间。事实上，对于这个拓扑，可以证明S是正则空间，并且是可距离化的。每个算数级数是又开又闭的集合。因为它的补集是具有同样公差的其他算数级数的并，于是，任意有限个算数级数的并也是闭集。

对素数，令是的全部倍数组成的集合。现在考虑集合，其中取遍全部素数。则是不在中的整数。由于{1,-1}显然不是开集，从而不是闭集。这表明素数有无穷多个。

不知道读者怎么看这段“原文”，反正我很晕乎……经过努力后终于弄懂了大概意思，所以我将在下面对此进行逐句的解释。

首先，算数级数就是等差数列，我们不妨从线性空间里面学到的基的定义拓展一下，等差数列的基就是能够结合参数表示出等差数列的“产生元”，那么可以这样定义：就是等差数列，其中(a,b)是一个基——因为当我的n作为参数取遍所有整数的时候，可以根据固定了的a和b得到一个等差数列，其中a是公差，b是一个起点。另外，当a和b取遍整数集时，必然可以取到算数级数的所有的基。

拓扑空间的定义可以参阅维基百科上的资料，而对这个命题真正重要的其实是开集和闭集的概念（这里的开集和闭集并不是如同熟知的数轴上区间开闭的定义），所以在这里我就忽略掉“正则空间”等装B字眼。

我们的讨论是在整数集上进行，所以可以这样定义开集：

开集属于整数集且对于开集中的每一个整数b，总能够找到一个合适的公差a，使得仍然属于该集。

显然，在这里所有的开集都是无限的——除了空集{}。比如，{…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,…}就是一个开集，对于其中的每一个整数（奇数），我们总能找到固定的a=2使得扩展出来的等差数列属于原集合——其实是等于原集合了。又比如，{……,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,……}这个集合，直观规律是每两个数就跳过一个数。那么我们也可以找到公差a=3，那么也能够证明此集合是开集。

闭集的定义就简单了：一个开集对于整数集的补集。比如上面的例一中开集的补集就是闭集，即偶数集。

好了，定义到这里，我们可以解释第一段的最后两句话了。根据定义可得每一个算数级数显然是开集，然而它的补集也是一个开集，则它本身又是一个闭集——那么可得每一个算数级数是又开又闭的集合。那么要证明“任意有限个算数级数的并也是闭集”，我们只需证明任意有限个闭集的并也是闭集。借助德摩根定律，就相当于他们的补集的交集的补集(有点绕口啊~)，即。他们的补集显然是开集，那么如果开集的交集仍然是开集，那么就是闭集了。现在假设A和B是两个开集，那么假设有和分别属于A和B，那么显然可以找到一个e，使得e属于交集，同时可以看出属于——所以得到开集的交也是开集。综上一大段所述，闭集的并也是闭集。可以将上述结论推广到有限多个开(闭)集的交(并)集。

上面一大段可以总结为一句话：有限多个闭集的并集仍然为闭集。

关于“拓扑”的知识已经铺垫完了，下面我们开始进入正题。等价于这个集合：。那么令p取遍所有的素数，得到了一个集合A。由定义得到A的补集就是{-1,1}。假设素数是有限个的，那么由“闭集的并也是闭集”可以得到A是一个闭集——那么A的补集是一个开集，但是开集要么为空，要么为无穷集合。所以矛盾，证毕。

虽然说这个证明号称为拓扑学的证明方法，但是有点“浅尝辄止”的感觉，倒更像一次对德摩根定律的巧妙应用——不过似乎切入点仍然是从拓扑中对“开集”与“闭集”的定义得来的。这次看上去有点风马牛不相及的结合让我感到非常神奇，非常牛B~

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