从证据方面来说，辛普森符合所有嫌疑犯的光环：有附近居民作为目击证人，有带着血迹的手套，有大小相符的鞋印，甚至有DNA证据。但是整个案件中，警方在提取证据时犯下了比较严重的错误，导致一部分证据失去了法律效力。抛开这些不谈，我们就着重看着两个细节：陪审团的构成以及辩护律师的一些辩词。

1.最终陪审团的组成是10女2男，其中有9名黑人，2名白人和1名西班牙裔白人。而辛普森是黑人，他被害的前妻是白人，因此“据称陪审团的黑人女性将受害者妮可尔·布朗（一名白人女性）视为从黑人女性手中夺取成功黑人男性的敌人，因此，她是咎由自取”。陪审团的目的是听取庭上的一些证据，经过讨论以及投票之后，得到被告是否有罪的结论。从统计上来说，这类似于抽样调查。一般来说，抽样调查在样本数量比较少的时候很容易产生偏差，而根据维基百科，“因此双方都接受了较多数量的女性陪审员”，这是一个主观抽样过程，虽然说双方作出这样的决定是为了避免一些偏差，但是这样避免了随机的操作可能会在另一方面造成始料不及的偏差。因此我们不能认为这个12个人的陪审团的最终结果就能够代表总体的意见。我们可以通过一个例子来看看，如果没有避免所有可能的影响因素，那么抽样的结果可能会很糟糕。这个例子来自《统计数字会撒谎》：

第二次世界大战期间,国家民意调查中心,(The National Opinion Research Center)派出两组调查人员对一个南方城市的 500 名黑人进行提问,一组调查人员由白人组成,另一组是黑人。问题一共有 3 个。

其中一个问题是: “如果日本占领美国, 你认为黑人的境况会得到改善还是变得更糟?”黑人调查组中,9%的被调查者回答“变好”,而白人调查组该比例只有 2%。。回答“变坏”的比例也不相同,黑人调查组是 25%,而白人调查组则是 45%。

第二个问题是用“纳粹分子”替代“日本”,两组的结果大体相同。

第三个问题试图探寻被调查者对前两个问题的真正态度。 “你认为目前致力于打败轴心国比在本国内进一步推进民主更重要吗?”。 ”黑人调查组中,选择“打败轴心国”的比例是 39%,而白人调查组则是 62%。

从这个例子中可以看出，我们竭力将两组调查的不同之处限制在调查人员的身上，最后的结果仍然大相径庭。那么，一个成员比较主观的十多人组成的陪审团的意义从某种角度来说是值得商榷的。

2.尽管检方掌握了众多的有力证据，辩护律师仍然拉开了三寸不烂之舌希望挽回大局。辩护律师首先对DNA这个看似难以攻破的证据发起了进攻，他们的辩词大概意思是，DNA检验的碰撞率（即两个人的DNA一样）为百万分之一（其实根据维基百科的说法，碰撞概率为1.7亿分之一），那么在整个纽约中应该能够找到差不多十个DNA样本一样的嫌疑人。同样的辩词也被用于其他的证据上：如果是鞋印，那么整个纽约中拥有同样尺码、同一款鞋底的人可能不少于100个；附近居民作为证人，也并不能一口咬定开着白色福特轿车的黑人就是辛普森。

在这样的说法下，法庭上的所有人一下子愣住了，好像从来没有这样考虑过问题。可以认为，这段辩词有力地干扰了陪审团的倾向。实际上，这段辩词有一个显而易见的大漏洞。假设一个人和辛普森DNA检测的结果相同的概率是一百万分之一，一个人和辛普森鞋印完全吻合的概率是一万分之一。那么，一个人同时在DNA和鞋印上同时完全吻合的概率是多少呢？这是概率论中常常会涉及到的问题。假设DNA检验结果相同，使得脚的大小已经是一致的了，那么市面上还有约100款鞋底不同的鞋子等待被挑选，于是两个DNA基本相同的人拥有同一款鞋子的概率为一百分之一。所以，纽约市中那10名DNA与辛普森基本相同的人中，有百分之一的人会选择相同的鞋印，也就是整个纽约市中除了辛普森，还有0.1个人与其拥有同样的DNA与鞋子。再加上一个开着福特白色野马的条件呢？也许每1000个人中就开着一辆。这样算下来，整个地球中也找不出第二个人满足上述三个条件。但是辩护律师混淆了概念，使得在场的所有人都孤立地看待着辛普森的这些证据。因此，得出了“好像是有这么一个误判的可能性”的想法，慢慢地将证据的效力降到了最低。如果在场的任何人具有基本的概率论知识，便可以当场反驳辩护律师，也许就可以导致完全不同的结果。

上面这两点，让我们看到，如果对于统计学或概率论的知识掌握不好，那么就有可能导致很多的误解与歪曲。

——————————横跨二十年的分割线——————————

说了这么多，纯粹是由于这段时间的“方韩之争”引起的。下面说些比较主观的话。

方舟子作为一个攻击性100分的人，很张扬，而且有着光荣的战绩，也得到了许多人的支持。这些人围绕着方舟子“科学”的旗号，却没有真正地利用好这个工具。而方舟子为了证明自己的观点，还挺有技巧地不着痕迹地引导着大家的观点。在此仅在他的不太成功的粉丝方面举两例。

第一例：有人用了主成分分析的方法对韩寒、韩仁均、郭敬明等一些人的作品进行了特征词语频数的统计分析，注意，是频数。其中包含了一本字数远远超过其他作品的《鬼吹灯》，得到了一篇统计分析的报告（遗憾的是，作者他……删帖了），其中发现韩仁均和韩寒的作品难以区分。我们可以很容易地发现：如果所有人的特征词语使用习惯都一样，那么作品的长度不同将直接导致频数的不同；同样的道理，特征词语使用习惯不同的人在不同长度的文章之下却能得到差不多的频数。因此统计之都的微博账号给出了一副修正过后的主成分分析结果图，此图中我们可以发现，韩寒本人的作品时而与鬼吹灯接近，时而与韩仁均的作品接近。因此仅仅通过这样的结论，我们不能得出“韩仁均代笔韩寒作品”的结论，最多得到“韩仁均和《鬼吹灯》作者分别代笔部分韩寒作品”的结论。当然，郭敬明的小说在远远的右下角，因此我们可以比较放心地排除……

第二例：微博围观请点击。这篇文章介绍了许多关于贝叶斯统计的东西，但是在实际使用的时候犯了一些差错。贝叶斯统计认为事件发生是有一个“先验概率”的，就像一枚不均匀的硬币抛出正反面的概率并不是相等的。此文作者在写文章的时候，有两个地方值得商榷：

第一，作者声称“文中假设了各个先验概率是独立的”，然后得到了一些结论，但是事实上各项先验概率并不一定是独立的，因此公式计算出来的数字只能被视为数字，在违背事实的假设下没有任何有意义的结论。

第二，对于先验概率的任意选取同样与事实偏差较大，一句“在信任缺失的中国P(Y=0)=0.6,P(Y=1)=0.4是比较合理”让大家感到十分无奈。中国人是贼的概率是0.4的话，那就有5.6亿的中国人是贼了。此外还有许多有待肯定的设置，因此这是第二个与事实不符的地方。

在一篇以事实为背景的文章里，包含了两个直接影响结果的违背事实的假设，我完全无法认同。我并没有否定使用这样的方法，而是对作者这种隐隐约约为了自己的主观意见而拼凑数字与制造假设的行为感到无法接受。如果比较客观地得到了类似的结果，那么我便可以接受。

今早看见韩寒说打官司，便想起了这么多的数字工具，便想起了辛普森案件的这段插曲。这些年过去了，统计工具发展得越来越厉害了，而比较玄乎的说法也让编外人员有如雾里看花，不知道如果真的开庭了，方派会不会类似地摆出一上述文章的数学证据。统计说到底也是一套工具，普通人很容易陷入对其的崇拜当中。即使对于同样的数据，生成半成品的手法与对半成品的解读也能巧妙地产生截然不同的结论。数字依旧是数字，只是温顺的羊，人们的目的才是狼，正所谓狼子野心。

披着羊皮的狼，能够蒙蔽人的双眼，然后吃到美味的肉。

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经常有一些网络迷题让观众看得瞠目结舌。要说的是，这其中不乏一些设计巧妙的。但对于死理性派来说，再精巧的设计，也会被看穿。本文在这里，就解释了几个流传颇广的经典数学谜题奥秘所在。

消失的正方形

这是数学游戏大师马丁·加德纳在《从惊讶到思考》一书中提到过的例子。重新摆放分割的小块图形后，上面的正方形中少了一个小方格，它去了哪里？我们 不妨实际操作一下，做两个全等的、上面没有孔洞的正方形（做的越大越好）。把其中一个按图中的式样精确地剪成所需要的五块，然后重新安排一下，拼成右边的 样子的。最后把它放到未经剪切的正方形上边，让二者的上边和两侧边都重合。你会发现，其实带方格的图形不是真正的正方形。它实际上是长方形，比正方形高 1／12。它的底部多出一个 12 * （1／12） 的窄带，其面积恰好等同于消失方格的面积。

所有三角形都是等腰三角形

这是一个颇为古老的数学把戏。最近又开始在网上流传。不妨来看看这个神奇的结论是如何得到的。

在一个任意△ABC中，做A点的角平分线，交BC边的垂直平分线A’O于点O。然后过O点分别做AB与AC边上的垂线，垂足为C’和B’。

显然△AC'O≌△AB'O，所以 AC' = AB'， C'O = B'O

又因为 BO = CO， ∠OB'C = ∠OC'B

所以△BOC'≌△COB'。  推得： C'B = B'C

AB = AC'+ C'B = AB' + B'C = AC，即△ABC是等腰三角形。

正如前面所说，平面几何的谬误大多都是在有误差的图上做文章的。实际上，角平分线会与其相对的垂直平分线并不相交于三角形内，而是交于三角形外部。所以即使有AC’=AB’，BC’=B’C，我们也能一眼看出AB=AC’+AB’，AC=BC’-B’C。

图里藏人

下面让我们见识一下什么是“大变活人”。

先看两排爷们的脸

把上面的图从中间剪开，然后挪动成下图那样，怎么就少了一个人？

再看下面这张图。

上图仅仅通过两个动作，剪切和互换，就让人数在十二和十三之间变来变去，这是怎么回事？

眼尖的读者或许已经发现了，这种精心的安排其实是移花接木。以“爷们脸”这幅图为例（这幅图较简单），第一个人变成了圆下巴，第二个直接变成了双下巴，第三个的鼻子变大了，第四个的鼻子变长了，第五个换了一个表情，多了眉毛。

因为整个图的面积不变，但是脸个数少了一个，导致剩下的那些脸都变大了一些，其结果就是所有爷们个个是长脸。这种传递式的面积分配，很容易通过上色标记的办法清晰地辨认出来。

而至于第二个图，不得不说那是一个精妙无比的设计。不妨在图片变动之前，对十二个人编号。

再看看移动之后的号码变动情况，其中上身和下身都对应着各自的编号。

如果仔细看，便会发现移动之后1号小小地少了一撮头发，10号的鞋底也被削了一层。他们各自都被从身体的某个部位切割下一点东西，活生生拼凑出了一个人。当画面上出现13个人时，每个人都比出现12个时要矮 1／13。

两幅图的原理都是通过累积很多次细微尺寸的变化，最终改变图中物品的数量。第一幅较为简单，而第二幅用十二人切合成十三个，做了十二件事（从每个人身上“偷”一点），但却只用了两个动作！其精巧程度实在让人佩服。

有趣的是，有一种古老的伪造钱币的方法正是以这种原理为基础的。按照上面的方法可以类似地把九张钞票分成18份，重新安排成十张。但这样伪造的钞票 很容易被侦破，不建议读者采用。因为票面上特殊的两个数字串，钱号在这种操作下已不相匹配。在所有的钞票上，这两个数字串都是位于相对的两端，一高一低。 这正是为了挫败这种伪造企图。

看似一样的信息，不一样的结果

一位母亲有两个孩子，有人问母亲的朋友A，两个孩子都是女孩吗？这位朋友说：“我不清楚，但有一个是女孩”。母亲的另一位朋友B说：“我上次去她家，看到一个女孩”。朋友A听到，表示不屑：“这和我说的不是一样的吗”。

看起来这两个信息没有差别，但它们真的是等同的吗？

答案是：不同的。由A给出的信息可以推出两个孩子全是女孩的概率是1／3，而由B则是1／2。

让我们仔细分析一番。根据A的叙述，我们知道“两个小孩中有女孩”，而两个小孩的性别组合有四种情况：男男，男女，女男和女女。因为知道了两个小孩中有女孩，所以可以排除“男男”，两个小孩都是女孩的概率便是1／3。

而B的陈述是看到一个孩子是女孩，问题实际上就转化成了“另一个孩子是不是女孩”，因此两个小孩都是女孩的概率是1／2。

为什么呢？这是因为在进行概率计算的时候， 不确定的描述往往意味着更多的可能性 。一个类似的例子是，打牌的的时候，如果有人说，“来打个赌吧，我现在有一张A，猜猜我还有没有更多A？”这种情况下他很可能会输，但如果他报出抓到的那张A的花色，“我现在有一张黑桃A，猜猜我还有没有更多的A？”那结果就截然不同了。死理性派之前对此有过一个 详细的分析 。前一种情况下，有更多A的概率是 37% ,而后一种有更多A的概率一下就跃升为 56% 。面对这样反常的结果，不了解概率论的人，都会被吓一跳。

类似这样“想不通”的例子还有很多。比如著名的三门问题。换还是不换？这是一个让无数人纠结的问题，据说很多人在看了详尽的分析后，依然觉得有违常 理，不能接受。“最高IQ人类”的玛丽莲在当年公布自己的答案——换一扇门时，立刻引来巨大争议，无数人觉得她回答错了，并写信“纠正”她，这些记录都保 留在它的个人网站上。就是直到今天，这个游戏依然困扰着不少人。

我后来又在这里补充了一个进一步的说明。

双赢的赌局

甲和乙各自收到女朋友送的领带。两人见面开始争论谁的更贵，最终决定打个赌，去商场调查，谁的领带贵谁就算赢， 而赢的人要把领带送给输的人作安慰 。

甲认为他在这个赌局中输赢是等概率的。如果赢了，那么失去的是自己戴的这条领带。而如果输了，则会得到一个更贵的领带。所以这个赌局对他是有利的。

当然乙也可以这样想。但问题是，打一次赌怎么会同时对双方都有利呢？

这个著名的问题由法国数学家莫里斯•克莱特契克在他的《数学消遣》书中首先提出。他指出，要想这个游戏公平，必须限制条件。比如甲乙二人对对方女朋 友的阔绰程度一无所知等。如果说甲的女朋友出手相对更阔绰些，那么甲的领带就有较大的可能比乙的要贵，他就更倾向于输掉这次打赌。

这个例子后来衍化成著名的钱包悖论，道具由领带变为了钱包：由第三者计算甲、乙二君钱包里面的钱，钱少者可以赢走钱多者的钱。

实际上，甲、乙二人的错误在于，他们只根据“可以赢更多的钱”这点，就做出这场赌博对自己有利的结论。但这场赌博对谁有利，应该以谁可以“赢得这场赌博”而不是“可以赢更多的钱”来判断。以赌谁钱包里钱少为例。判断谁有胜算，必须注意两点：

• 必须计算期望值。

• 钱包里有多少钱是很随机的。

所以正确的逻辑应为：

• 如果我的钱包里有较多的钱，那么我参加这个游戏，会输掉较多的钱。

• 如果我的钱包里有较少的钱，那么我参加这个游戏，会赢得较多的钱。

这两种情况的可能性是均等的。而且，由于总有一个人赢得另一个人输掉有更多钱的钱包，这个游戏是均衡的。所以它的结果应该是甲、乙各有一半的可能获胜。也就是说，这个游戏 是公平的 ，并不对哪一方有利。

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在条件概率的趣题中，最出名的便是”三门问题“了。现在我尝试尽量严谨地重述这个问题的主要部分。

在一个娱乐节目中，每一个最后的赢家都面临着一个碰运气的选择题。他会看见一块板子，上面有三个门，其中一个门的背后是汽车，另外两个门的背后是山羊——当然，大家都想得到汽车。在门没有被打开的情况下，赢家是不知道门背后是什么的。他可以随机地选取一个门，然后主持人将他选择的门打开，如果是汽车的话，他就赢得了大奖，否则只能抱着一头山羊离开了。

如果题目背景就是这样，那么他选中汽车的概率就是1/3。但是还没完，为了增加趣味性，事先知道门背后是什么图案的主持人在赢家选中某一扇门之后，呼地打开了另一扇门——这扇门背后是一只山羊。现在，赢家选中了一扇门，还有一扇门不知道背后是什么。现在的问题是：赢家从刚才自己选中的门转换到另一扇没被打开的门，自己赢得汽车的概率会不会有所提高呢？

我们为了计算概率，通常都会用一些运算式来进行表达，这样虽然比较数学，但是有时候不那么容易让人理解。所以我希望能以”多次试验中某事件发生的次数“来代替概率的计算，这样比较容易理解，而且一般结论也不会出错。

假设上面提到的节目一共举办了6000期，那么赢家第一次选择就选到了汽车的次数是2000次，选中山羊的次数是4000次。无论赢家第一次选的是什么，主持人都会展示一只山羊。如果赢家不选择更换一扇门，那么他只有2000次的机会赢得汽车。现在假设赢家无论怎么样都会换到另一扇门上。

在4000期节目中，赢家指中了一只山羊，同时主持人掀开了另一只山羊，那么如果他这个时候选择换到另一扇未被打开的门上，那么他就能赢走一辆汽车。所以他会赢得4000辆汽车

在另外2000期节目中，赢家指中了一辆汽车，这时候他同样选择换一扇门，于是自己便只能得到一只山羊。所以他会赢得2000只山羊。

相比之下，坚持第一直觉，就有2000辆汽车；不坚持第一直觉，就有4000辆汽车。所以更换自己的选择更好。

如果觉得从直觉上难以接受的话，不妨继续思考这个问题：
在什么情况下我更换一扇门会让我赢得一辆汽车？那么当然是在第一选择就选中了一只山羊的情况下。
在什么情况下我更换一扇门会让我赢得一头山羊？那么当然是在第一选择就选中了一辆汽车的情况下。

这两种情况哪种的发生机会更大呢？显然是第一选择就选中了山羊更容易发生。选中山羊的时候换门就选中了汽车，反过来选中汽车的时候换门就选中了山羊。所以第一选择选中山羊的概率和换门之后选中汽车的概率是相等的——既然第一选择更容易选中山羊，那么换门之后就更容易选中汽车。

另一个比较著名的”男女问题“，大概是这样描述的：一位母亲有两个孩子，有人问母亲的朋友A，两个孩子都是女孩吗？这位朋友说：“我不清楚，但有一个是女孩”。母亲的另一位朋友B说：“我上次去她家，看到一个女孩”。朋友A听到，表示不屑：“这和我说的不是一样的吗”。

我们把这段话陈述得再清晰一些。
朋友A的信息获得可以是这样的途径——他直接问那个母亲：你家有女孩么？ 母亲羞射地回答说：有的。
那么，对于朋友A和朋友B来说，他们的信息量一样吗？

假设我们在一个有200户人家的村子里考虑这个问题，每一户人家都有两个小孩。有50户人家是两个男孩，50户人家是两个女孩，100户人家是一男一女。

对于朋友A的问题，50户两个女孩的人家和100户一男一女的人家都能够给出相同的回答。于是对于朋友A来说，他觉得那位母亲有两个女孩的概率是1/3。
对于朋友B来说，他一定没有看见且只看见了一个小孩——不然他就知道两个小孩的性别了。他一定会在两个女孩的人家中看见一个女孩，同时有可能在一男一女的人家中看见一个女孩。对于那100户人家来说，只有50家会被他看见女孩，另外50家会被他看见男孩。所以，会被朋友B看见一个女孩的人家一共有100户，其中50户人家是两个女孩的。于是对于朋友B来说，那位母亲有两个女孩的概率是1/2。

恩，我猜这样的说明更容易理解一些吧。对于三门问题，大家可以来这里围观一个编程进行试验的代码。

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素数无穷多的证法已经很多，为何还有人捣鼓新的证法？

我对此的回复是：勾股定理更多呢~但是这个问题让我好好地想了想，我们一题多证究竟是为什么。确实勾股定理有上百种证明，但是为什么人们会热衷于此？

对于数学，尤其是证明而不是计算这方面，其应用性十分不明显，在较早的时候甚至可以忽略不计。可是人们对很多问题还是报以孜孜不倦的精神，给出了各式各样，千奇百怪的证明。除去勾股定理这个bug级的题目，我们还会发现，《博大精深的素数》一书中给出了9种方法证明素数是无穷的，高斯对二次互反律给出了八个证明，人们对代数基本定理的证明也是不断地发挥着想象力。往小了说去，各种小学、初中练习题特别是平面几何题常常都会让大家“使用至少两种方法说明这个结论”。也就是说，一个结论有许多种证明方法实际上是一种普遍现象，并不是个别题目的出彩之处。我想，大家喜欢一道题用不同的方法，完全是出于自己的喜好或者好奇心，就像做爱用上许许多多的体位一样，每个人都有自己心中的好坏优劣之分，目的都是一样的，只不过选择不同的道路便能看到不同的风景罢了。

而人们使用多种方法进行证明的第二个原因，我觉得历史上最速降线的故事最能给出解答。故事的最简梗概是这样的：某个伯努利提出了寻找最速降线问题，然后许许多多的数学家都给出了自己的解答，而其中在历史上最具有意义的解答是某个伯努利给出的，这个解答导致了后世被大家称为“变分法”的数学分支诞生。围观完整故事请猛击此处。有时候人们为了证明一个不算简单的定理，往往会开发出各种各样的工具，到后来这些工具往往被证实有着很广阔的发展空间和深刻的意义。而一题多证往往本身含有创新与突破限制这样的成分在里面，所以不平凡的题目在面对多解的时候往往更能催生出镀金的花。

第三个原因，我想是因为对于一个题目用不同方法进行证明，能从不同的方面体现出其在不同领域中的特性。例如勾股定理，在平面几何里面，可以转化成面积的关系；如果将它看成是余弦定理的一个特例，那么便抓住了其向量的一面，同时更方便于将其推广到多维空间中。又比如用向量法证明柯西不等式，揭示的是它的几何（向量内积）意义，等号成立的条件也不用那么拗口——只要两个向量的夹角是0就行了，不需要记住“两数列对应项之比相等”这样长长的话语。而且柯西不等式也有其对应的积分形式，同样描述了向量内积的性质。这样的关系，怎是普通代数证明能立马体现出来的呢？

恩……想到的就这些，也是我这个程度所能体会到的内容了吧~不知道能不能很好地回答题目了呢……

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你知道吗？每年诞生上万部电影，但电影的总数却如同石油一般是有限的。不仅是电影，书籍、音乐甚至你的人生都是如此。难以想象？让本文告诉你这是为什么。

如果有人说，你的一生其实就如同被装在一个箱子里面，你会相信吗？你的一生，不会像广告所说的那样“精彩无极限”，我们每天能看到的图像和听到的声音，其可能性其实只是有限多种。

这是为什么？让我们先从电影说起吧。

图像

每个人都或多或少都看过一些高清电影，比如说一部1080p（1080p:垂直方向1080行逐行扫描合成一帧图像）的《致命魔术》。它的分辨率为 1920*1080，也就是说这样的一部电影中的任意一个镜头都含有2073600≈2.1M个像素点。在常用的视频格式中，这样的画质非常清晰，完全能够满足视觉要求。另一方面，科学研究表明，人眼能够辨识大约一千万种颜色。让我们做一个合理而宽泛的假设：每一个像素都有可能呈现出这么多种颜色，那么通过数学计算可以得知，存在且仅存在 种不重样的静态图像。不论是前年的《变形金刚》绚丽剧照还是十年后的菲利普奖的获奖作品，都包含在内。

而在电影视频及数字视频上，每一帧都是静止的图像，快速连续地显示帧便形成了运动的假象。每秒钟帧数越多，所显示的动作就会越流畅。通常，一秒钟 30帧的速度已经足够让眼睛受骗，使人们在脑海中形成流畅的动态画面。于是，我们在一秒钟之内能看见的流畅动画大概就有且只有种这么多（这里以时间秒来作为考量单位）。这个数字大约当于 那么多，庞大，却是有限的。

声音

看电影总得有声音吧——一句广告词说得好：没声音，再好的戏也出不来。在信息论上，我们有一个著名的“奈奎斯特-香农采样定理”，大概陈述是这样的：

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

人的耳朵大概能听见20Hz到20000Hz的声音。在这样的频率下，我们只需要使用40kHz的采样频率便能满足定理的要求。实际上一张CD使用的采样率是44.1kHz。为了简单起见，我们不妨假设视频的音效和一张CD的音效差不多。44.1kHz意味着我们每秒钟要采集44100个声音样本，而每一个样本通常都需要占用16bit的空间，那么每秒钟就会录制16×44100=705600≈0.71M bit。于是可以算出，总共有 种不同的持续1s的声音，同样是有限的。

视频

将声音和图像联系起来就是视频。那么不同的一秒钟视频的总数就是 ！通常，一部电影时长有几个小时，假设一部电影时长不超过两个半小时，这些电影也一定由前述那些不同画面与不同声音搭配而成。那么时长不超过两个半小时的电影总数就是：

我暂时不知道怎么样才能简单地表达出这个式子的结果，因为这个数字大到难以想象，甚至是它的位数都大到难以想象。不过可以确定的是它仍然是有限的。

人生其实就在一个大箱子里

理论上说，给我足够的时间和资源，我就能够造出所有可能的电影。仿佛所有的电影然都被放在一个硕大无比的箱子里，这个箱子里的电影有《狮子王》，《肖申克的救赎》等等。事实上它还包括了所有未来将会拍摄的电影！

望望远处的绿叶，听听周围的声音。

是不是突然觉得你所听见的、看见的综合起来，其实和一部很长的电影并无二致？是的，或许我们的眼睛像素比1080p的更高，或许我们的耳朵采样率比一张CD的更高，但是这一点也不影响“电影总数是有限的”这一基本特征。实际上，你这辈子就像在看着一部电影：

你憧憬那精彩的一生，其实就在一个大箱子里。

但是请不要灰心，即使身在果壳之中，我们依然可以成为无限宇宙之王。猴子在有生之年敲不出莎士比亚全集，我们在有生之年却能做出许多创造历史的事情，简单如洗牌都是如此，原因正是：虽为有限，依然难以重复。

每一次洗牌都在创造历史

你知道吗：每一次洗牌，你都在创造历史。

大家打牌时或许会经常有“怎么和上局这么像”、“怎么又是这样”的感觉。想打到一模一样的牌局？如果你认真洗牌，这样的情况几乎永远不会发生。 1992 年，Persi Diaconis 和Dave Bayer 的一篇论文中提到， 七次交叉洗牌基本上就能让54张牌所有可能的排列概率均等地出现了（参看 这篇文章 ）。你知道 54 张扑克牌的排列共有多少种吗？答案是：

54! = 230843697339241380472092742683027581083278564571807 941132288000000000000

也就是大约 。这是一个非常非常大的数，仅是其数量级就已经接近于整个宇宙的基本粒子总个数了。按照宇宙大爆炸理论，目前宇宙已经有 137 亿岁了，这相当于是 秒。如果从宇宙诞生开始，每一微秒内都有一个人在洗牌，那么宇宙间发生的总的洗牌次数也不超过次。即使这 次洗牌的结果各不相同，和原来的某次洗牌结果撞在一起的概率也只有 10 的 47 次方分之一。

因此，几乎每一次洗牌， 你都能创造一个历史上从未出现的排列顺序。扑克牌游戏的乐趣，或许正在于此——每一个牌局，都是独一无二的。

看到这里，你还会担心自己的独特会被别人在无意中重复吗？

本文出处： SPIKED MATH COMICS : http://spikedmath.com/420.html

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在拍卖里，出最高价者得宝贝，这是毫无疑问的规则。但是这个出最高价者，一定要付出他喊出的价格才行吗？这就不一定了。维克瑞拍卖法就是一个买家不用付出最高价格的规则，它最大的好处，就是能让买家心甘情愿喊出真价钱。

喊多少钱，就出多少钱，是天经地义的吗？

一个古董收藏家为了周转资金，决意卖掉手上的一个宝贝花瓶，于是准备举行一场别出心裁的拍卖。这个拍卖的规则如下：

买家将他们的报价秘密地封装在信封里，然后递给收藏家；
出价最高的人会以自己的报价从收藏家手中拿走那个花瓶。

这个拍卖被称为“第一价格密封拍卖”。它的规则看起来很有道理，但却可能出现这样一个问题：如果花瓶确实价值连城，但是如果大家都耍了个心眼，以为只有自己才是识货的行家，便随意地提交了一个不太高的价格。那么最后有可能是某一位买家花个小价钱捡个大便宜，这个收藏家只能捶胸顿足痛心疾首了。

同时对于买家来说，这样的拍卖方式同样很能让人脑力耗尽大费周章。虽然每一个买家心里都会对这个花瓶开个估价，但是为了赢得这次拍卖，还需要对其他人的出价进行尽可能准确的猜测或者是私底下对整个局面搜集大量情报，才能很好地制定自己的战术。
既然卖家冒着巨大的风险，而买家又在绞尽脑汁，将大量精力投放到了搜集局面信息上，我们有没有什么办法能够解决这种拍卖法带来的问题呢？

维克瑞拍卖法，让买家心甘情愿喊出真价钱

其实，还真有这么一个拍卖方法能解决上述疑虑，只要将上述拍卖的规则修改了一点点：

买家将他们的报价秘密地封装在信封里，然后递给收藏家；
出价最高的人会以第二高的出价从你手中拿走那个花瓶。

一眼看过去，大家可能会不屑地笑道：这不是让卖家的收入更少了嘛！确实，乍一看，本来买家就有可能投机出低价，现在你居然建议买家只用花第二高的价钱便可拍下花瓶。可是这样的拍卖真的对卖家不利么？不一定。

假如你是一名买家，精明的你一定会事先在心中对这个花瓶默默开出了一个价格，这时所有其他买家的出价情况不外乎两种（假设一般价格之间不会相等）：

1. 他们的最高报价高于你的心理期望价格；2. 他们的最高报价低于你的心理期望价格。

我们将以上两种情况列成下表，方便梳理买家出价的逻辑：

因为任意一个买家报价时都不知道他人的报价情况，也就不能知道他人的最高出价是多少，所以唯一的选择即是让实际出价等于心理期望，这样无论他人报价情况怎么样，自己都能得到最好的结果。

那么为什么在第一价格密封拍卖中，买家有可能出现压低价格的情况呢？因为如果买家出价和心理期望价格相同，就算得到了拍卖品，也不过是等价交换，没有产生收益。但把价格压得越低，自己的利润越大，所以第一价格会为了利润而产生压价的心理，即使有风险也愿意去赌一把；而在维克瑞拍卖的规则下，压低价格则纯粹是在增大自己的风险却无法增加自己的利润。
如果每一个买家都遵从这样的符合自身利益最大化的出价规则参与拍卖，那么卖家之前对投机者的担心自然就被打消了；同时对整体信息的掌握和评估对买家来说已然多余，那么买家就能把主要精力放在对花瓶的精确定价上来，节约了很多资源，同时也有可能吸引更多的买家前来竞标。

维克瑞拍卖的弊端以及改进

这样一看，收藏家所担心的问题应该解决了：他的收入一定等价于这些买家中第二高的心理期望价格。但是这是一个完全依赖于买家的心理价格水平的定价，所以卖家可能会碰到另外一个问题：如果所有买家中只有一个有眼光的人开出了较接近真实价的最高价，但是因为其他人的鉴赏能力有限导致第二价格过低，卖家仍然要承担损失。曾经新西兰政府就用维克瑞拍卖，杯具地以6元钱卖出了某个通信频段。

同时，如果部分买家不遵守游戏规则，甚至是与卖家一起串通合谋，那么单纯地使用“诚实法则”便不能保证你的收益。于是，第二价格密封拍卖实际上是让卖家摆脱了投机者带来的风险，转而承担起了买家可能鉴赏能力不足的风险。

所以其实维克瑞拍卖在实际运用中并不常见，更多的是从它出发进行的一些变型。

一种最常见的变形思路便是让所有的买家进行多轮密封价格竞标，每次都公布本轮的最高价格，这样可以弥补对场上局面不了解的不足，同时也能起到一定的监督作用。一个名为“广义第二价格拍卖”[1] 的推广方法甚至被谷歌运用到了自己的网络广告系统 AdWords 当中。但是一般进行了多轮的竞标活动最后的结果往往带有不确定性，让人们难以使用数学和经济学等工具精确地分析拍卖结果。

不知道各位看完此文，是不是有兴趣拿起手边的一些小物品，准备和身边的朋友针对“第二价格密封拍卖”做一次实验了呢？
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_second-price_auction

本文原载于果壳网

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3. 只有一盏灯怎么传递信息——囚犯点灯问题

“我每天晚上会抛一个骰子，那个骰子抛到几点就会让几号囚犯出来有一个小时放风的时间。走廊上有一盏灯，每个囚犯都能在出来放风的时候看见它，还能随意操作那盏灯的开关，决定它亮不亮。让你们全部都得到释放的办法就是：某一个囚犯在某次放风的时候和我说自己认为所有的囚犯都已经放风过了——如果他说对了，那么你们六人都能得到释放，不然的话，你们就要被终身监禁。”

他们有一段时间进行商量，试图想出一个策略来进行交流，然后就被关押到各自的牢房里面，期望从监狱长的手中夺到自由。

如果你是一个囚犯，你有没有策略能够保证他们能够被释放呢？

在揭开谜底之前，不妨慢慢分析一下这个问题——其实就是一些提示啦。首先要注意到只有一盏灯，而且开关灯的过程别人看不见。只有0和1两种状态显然不能记录六个人（后面会发现其实这个数字只是方便配合抛骰子的选择方式罢了）那么多的信息量，那么每个人除了这一盏灯，还有其他的信息来源么？

其实是有的，那就是上一次出来放风（如果有的话），上上次出来，上上上次出来。。。。的时候，那个灯泡的状态。不得不说，时间在这里起了很关键的作用，整个过程积累的信息往往会很有用，然而要想让历史信息有用，那么就只能约定一个有用的规则，每个人都能利用到。

其次，注意到只需要一个人去和监狱长说，同时注意到只要监狱长是按照游戏规则进行真正的随机抽人，那么每个人都会有机会出去放风，所以说大家肯定有机会被放出去。同时也要想到：去和监狱长说的人一个就够，为什么我们不规定某一个人去说呢？因为每个人都有机会出去放风，那么当每个人都出去放过风之后，那个被确定为通知者的人也有机会被放风——此时他已经通过某种方式得知了所有人都能被放出去，信心满满。所以这样的方法不是不可能的。

于是通过上面的分析，可以得到这样一个方案：

约定第一个出去放风的人是通知者——显然对这个身份的理解不会有误。接着便是一个长时间的通过对概率的信任而得到的策略。第一个人将灯泡点亮。从第二次开始，每一个出去放风并且还没操作过灯泡的人如果发现灯泡是亮着的，就将它关掉——这时他便算是操作过灯泡的人了。通知者以后某时肯定会有机会出去放风，如果他发现灯泡是灭的，就在计数器上加一，再将灯泡打开。等到他第5次发现灯泡熄灭后，就可以去向监狱长汇报了。

这个方法其实可以适用于任意多人的情况——只要你假定监狱长没有邪恶地作弊，而且时间足够长。

这个方法一个显而易见的弊端就是无法在最短的时间里去报告，也就是说第六个出来放风的人看着灯泡便能知道自己是最后一个出来放风的人。但是在人数任意多的一般情况下，只有一个灯泡的话是不可能做到这点的，两个灯泡也不能——至少要三个灯泡才能做到。这是《趣话概率》上面提到的，我暂时还没想到三个灯泡的解法，欢迎各种讨论~

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一般这个游戏在2~10人之间依次进行（理论上说没有人数的上限，但是我最多好像也没有和超过10人玩这个游戏）。每个人手中都有相同数量的骰子，一般是4~6个，开始之前摇一摇~每个人只能看见自己的骰子点数。接着从某一个人开始——一般是上一局输了的人，第一个人要做的就是叫点数，格式是“X个Y”，意思就是你认为在所有玩家的骰子中至少有X个点数为Y的骰子，比如有人叫“6个3”，那么就是说他相信在这些玩家手中至少有6个骰子滚出了3点，其中X不能小于玩家数。每一个玩家叫完点就轮到下一个，此时下一个玩家有两种选择：继续叫点数或者是选择“开”。继续叫点数的规则如下：X不能小于上家的X；如果X比上家的大，那么Y只要是1~6就行了；如果X与上家的相等，那么Y就要大于上家的Y（规定此时1>6>5>4>3>2）。比如我的上家叫了5个4，那么我就可以叫5个5，5个6，或者6个2之类的。这个规则和升级或是桥牌中的叫主牌规则有点类似吧~如果玩家不继续叫点数，而是选择了“开”，那么他的意思就是不相信上家叫的数量，这时候所有的玩家都展示自己的骰子点数，清点一下现在的情况是否满足上家叫的数量，如果满足了，那么开的人就罚一杯酒，反之被开的人就被罚。

为了游戏的趣味性，规则当中还添加了一条十分重要的内容：点数为1的骰子可以当成任意点数——除非有人叫了“X个1”。这样一来如果我的手中有2个1点，1个3点，2个5点，那么我就相当于有3个3，同时又有4个5！——除非有人叫了“3个1”或者“5个1”之类带1的点数。这样一来变化就丰富了，即使两个人玩，你也不能马上猜到对方手中大概的点数分布情况。

规则就是这样，下文的分析都以没有叫“X个1”的情况为准。先举一个例子来说明一下游戏流程，免得有人看不懂我上面的描述- -同时下文也将以此进行分析。

假设3个玩家A，B，C，每个人手中有5个骰子。A手中是1,1,3,4,6；B手中是1,2,5,5,5；C手中是2,3,3,4,5。从A开始叫点数。

A：（其实3，4，6都可以，随便选了一个）4个3

B：（自己只有1个3，换一个数字探探C的手风如何）4个5

C：（一般犹豫一下）5个3

A：（见C好像也有3）6个3！

B：（见自己手中只有一个3——1此时可以当作3来看，于是一般犹豫一下）开！

（然后一清点，A手中有3个3，B手中有1个，C手中有2个，加起来正好6个，于是B杯具）

这正是比较典型的一局。理解了游戏流程后，我想提出的问题是：我们有哪些对自己有利的策略呢？

我们把复杂的心理学之类的问题忽略掉，那么这个游戏自然转化成了一个概率问题。假设一共有n个人在玩这个游戏，每个人手中有m只骰子，那么每个点数的平均数量就是m*n/6，再加上点数为1的数量，每个点数的平均数量应该是m*n/3。当我们在玩游戏的时候，自己手中的骰子点数是已知的，那么未知的点数平均数量就应该是m*(n-1)/3。再加上你手中该点数的实际数量，就得到了这个点数的数量期望。

如果假定骰子的点数满足二项分布（即只有是或者不是两种情况），那么可以计算得到：对于m*(n-1)<=61的情况来说，某点数的实际数量更有可能在期望±2个的范围内出现；当m*(n-1)<=22时则更有可能在期望±1个的范围内出现。这个震荡幅度的估计有助于我们进行叫点数时的决策，特别是第一个叫点的人，此时没有其他人的叫点信息，一般也观察不到什么《Lie To Me》等级的暗示，于是他只能通过数学的计算来给自己大概选择一条出路。——不知道有没有人会联想到，其实这个震荡幅度正是一个<50%的置信区间~只不过我们使用的模型改变了，从一个连续的模型（t-分布）转变成了一个离散的模型（二项分布）。通过对这个区间的掌握，我们可以更精确地控制叫点数的范围以及在一定程度上判断继续叫或者开。

在上面所举的例子中，n=3,m=5。对于A来说，3的数量期望应该是3+5*2/3约为6.3，而m*(n-1)=10<22，所以3点的数量更有可能出现在5~7之间，A如果叫5，假如B叫6，C叫7，A就比较难以决策了。所以A选择叫4点，虽然保守，但是不会导致轮一回转到自己的时候出现让自己尴尬的场面。注意到游戏每一次只会有一人受罚，所以说我们为了避免被罚，应该更多地考虑如何让自己叫到一个安全的点数而不是叫到一个正好踩线的点数。

以上便是数学层面的简单分析。但是只要是有人参与的游戏都不可死板地套用公式，人和人的较量总是会让局面变得更加难以控制。比如上例中B如果故意“错叫”了5个3，那么C可能以为A和B都有很多的3点，于是可能跳过6直接叫7个3，那么不是A杯具就是C杯具——如果A不开继续往上叫无疑就中了B的陷阱，B自然不会继续叫下去。也有可能A大胆往上叫第一下就直接开出6个3，B这时候就两难了。站在局外人的角度来看，B根据自己的骰子情况应该选择开，但是如果往上加一个变成7个3，反而会引诱C继续往上叫。恩……博弈论神马的好像准备冒泡了……打住。
我的简单介绍就到这里，任何游戏都还得亲自上阵，纸上谈兵都是没用的~希望大家玩得开心~

P.S:这篇文章中我给出了一个生活中的例子，其中小小地应用了一下置信区间，于是干脆就划分到了这个系列之中。另外我今天下午的6人5骰局就半个小时都没有被罚~当然其实这也和我上下家有点关系……上家是一个永远都8个9个起叫或者6个7个也开的傻孩子，下家是一个无论我叫什么都继续叫的傻孩子……笑~

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华东数模邀请赛17号开始，于是我和zxy以及wzq开始了青涩的数模之路的第一天——杯具的是题目前一天晚上就发布了……不过对于我们这种大一的来说，选题其实是一个很简单的事情。于是我们断断续续地开始了讨论。下午和wzq在宿舍讨论了一个多小时，他就有事闪人了（一个星期的数模比赛时间真是……轻松啊）。我留在宿舍又无所事事，正好xxy把这个东西（- -附带了keygen的）丢给了我。

这个软件还挺和谐的，有着比较详细的上手动画教程，令我等新手马上就可以知道用法与最基本的快捷键。之前我和wzq讨论时将东西都列在草稿纸上，感觉很散乱。所以我尝试了一下用思维导图的方式来表达我们的讨论结果。感想就是：虽然思维导图本身的想法简单，但是却与按行文格式来思考的传统方式有着很大的区别。思维导图最大的优点就是他的散射状。一旦所有的句子与陈述都铺排在一张大大的纸上，我就突然感觉到了各个东西之间的关联。估计还是因为普通列表的结构本质上是一维的，所以各个部分之间如果有着复杂的联系难以关联起来，只能像代码缩进一样标示某一块相关联内容的层级。而思维导图本身是二维的，同时长得有点像多叉树，无论是视觉上还是逻辑上都有很清晰的层次结构。个人认为二维结构带来的最大好处就是对内容的变化可以很好的控制，比如我在使用传统列表的方式进行记录整理，突然间想加入一个关键的二级内容，突然发现该插入的地方已经写下了其他的东西，怎么办？只能加个插入号然后往旁边挤着塞进去，这样一来既不美观又破坏了原有的代码缩进式的层次表示。用思维导图就不会遇到这样的问题，直接画一条线延伸到空地，然后该写啥写啥。下面这图就是一个纯粹展示结构的例子，topic部分没有作修改——有没有很直观很清晰的感觉？

我鼓捣完这些东西就去排球队训练了（果然一个星期很闲……）。晚上三个人终于一起凑在我宿舍，开始头脑风暴——这种信息量暴涨的思维模式，使用思维导图来管理自然比在纸上列表要清晰很多。不知不觉中，我们的导图已经丰满出了各种的枝条——想想要是我们的草稿已经列了3张纸，那整理思维的时候应该是多么的悲剧！

所以我推荐给每一个要进行创作的童鞋尝试一下思维导图这种帮助自己管理杂乱思绪的有趣方式。虽然最开始的导图都是用手绘的，但是为了方便起见我还是推荐使用电脑上的软件来制作管理。我使用的MindManager功能还不错，除了本身的默认编辑格式外，这个软件还能够将自己的导图保存成pdf,png,bmp,jpg等各种格式，方便随处研究与转移。在上面给出的维基词条里也附了一串软件，其中也不乏优秀的开源软件。这里是Tony Buzan——导图的发明人所写的六本关于使用导图的书，大家也可以去进阶地学习一下。希望我的推荐对各位读者的学习工作有所帮助。

P.S:我好像很久没有写blog了~主要是最近忙乱不堪，而且疲于作业，没有碰见什么让我眼前一亮的东西……前两天叶子还警告我我的文章已经退出首页了，大惊——我千万不要变成Malloc。正好今日有感于导图，遂夜中写下此文。

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嗯，不对，为什么桌子摇摇摆摆

然后我弯下身子，发出一声惊呼：

我的剑呢？？！！昨夜我明明拿来垫桌脚的啊！！我的剑怎么失踪了？

你们能体会一个剑客此刻的心情吗？

而我体会到了类似的感情——作为一个学机械的，CAD无异于我的剑。今天下午，我吃完晚饭回到宿舍，无所事事，突然想到明天的机械制图课要上机做CAD练习，于是决定打开CAD练练手。结果不幸的事发生了——模块加载到98%时（当然只是一瞬间的事），有一个模块无法加载，然后整个CAD系统就陷入有响应，但是无反应的阶段，甚至无法关闭。我怀着侥幸的心理结束了CAD这个任务，重新打开，结果还是一致的。

那一瞬间我整个人都囧了。没有CAD，我的日子怎么过！

CAD到底是何物，我们不妨先解其字。CAD-Computer Aided Design,即计算机辅助设计，利用计算机及其图形设备帮助设计人员进行设计工作。在上古时代，一切图纸都要靠手绘——大家以前都做过尺规作图吧，手绘就是一个庞大的尺规作图过程。

比如一把剪刀（如下图）

想要达到可以通过你的图纸制作出一系列一致的剪刀的程度，你必须进行一系列的尺规作圆角，公切线，螺旋线（中间的螺丝的尺寸图），公切圆，这样的工作是很令人厌烦的。而如果想要绘制一辆汽车，一架蒸汽船的图纸，其中的困难可想而知。手工绘图的麻烦远远不止如此。想象一个机械工程师，花了半个月的时间，终于在期限之前绘制出了一辆自行车的图纸，然后他疲惫而又兴奋的包好图纸赶往公司，结果路上下起了瓢泼大雨，虽然他极力保护纸张，但是到达公司时图纸已经可以拧出水来——如果他的手上有一把机关枪，他肯定会疯狂扫射的。

正所谓有了需求便有了供应，随着汽车和飞机工业的发展，以及计算机的出现，CAD便应运而生了。早期的计算机辅助设计系统是在大型机、超级小型机上开发的，一般需要几十万甚至上百万美元，往往只有在规模很大的汽车、航空、化工、石油，电力、轮船等行业部门中应用，工程建设设计领域各单位则难以望其项背。而且那时的CAD中的D，理解为Drawing其实更加准确，它只是有简单的线框结构，只能表达基本的几何信息，不能有效表达几何数据间的拓扑关系。对工业的促进作用微乎其微。也就是说，当时的CAD是一块高级的画板，仅此而已。

但是随着计算机技术的发展，特别进入80年代后微型计算机的迅速发展，使计算机辅助设计逐渐成为现实。工程师在设计中通常要用计算机对不同方案进行大量的计算、分析和比较，以决定最优方案；各种设计信息，不论是数字的、文字的或图形的，都能存放在计算机的内存或 外存里，并能快速地检索；设计人员通常用草图开始设计，将草图变为工作图的繁重工作可以交给计算机完成；由计算机自动产生的设计结果，可以快速作出图形显 示出来，使设计人员及时对设计作出判断和修改；利用计算机可以进行与图形的编辑、放大、缩小、平移和旋转等有关的图形数据加工工作。cad 能够减轻设计人员的计算画图等重复性劳动，专注于设计本身，缩短设计周期和提高设计质量。此时的CAD，不再仅仅是一块画板，而是工程师的伙伴，两者有着充分的互动，这种互动也使得工程产品的创新和提高速度大大加快。

到了今天，CAD不仅仅是一款孤立的软件，CAD/CAM系统（CAM-Computer Aided Manufacturing）更使得设计和制造环节紧密联系——用专业的话讲就是大大的提高了社会生产力。而且CAD正逐渐发展为一个标准，集成，开放，智能的平台。有一句话说的好：因为语言不通，巴别塔最终毁于一旦，而这样的事在今天不会发生，因为全球所有的工程师都通晓同一门语言——CAD。

下面给大家看几张CAD制作出来的图纸

蒸汽机

机件（像这样的三视图以及三维图是我现在达到的水平线）

下面这幅图就是我们某一次的上机练习，有空我把它拉成3D的好了

说了那么多，有心且善良的读者可能会关心我的CAD到底怎么样了。最后我卸载了老CAD，然后到隔壁宿舍借了一张光盘，然后经历了麻烦的安装还有注册机注册以后，我的CAD复活了。不说那么多了，寺雷颠要去拉3D图了。

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