不妨称呼博弈双方为A和B，现在他们要玩一个类似井字棋(tic-tac-toe)的游戏。A使用一个6*6的方阵，而B使用一行1*6的格子。首先，A分别为第一行的每一个填入自己选择的X或O，然后B选择使用X或者O填入第一个格子中。接着，A继续用XXOO填满第二行，B将X和O填入第二个格子。如此进行六次，两个人的格子就都被填满了。现在，如果A的格子中存在某一行与B的那一行完全相同，那么A就赢了。如果是你，你选择当A还是B呢？

解答：不管你选不选B，反正我是选B了。实际上，B的必胜策略会让人感觉十分熟悉。

B需要保证自己的那一行与A的每一个行都不相同，也就是说B的那一行与A的每一行都至少在一格上有差别。于是，下面的图示展示了B的一种获胜策略。

A填满后的6*6格子：

OXXOXO

OOXXOX

XXXOXX

OOOXOX

XXOOOO

OOXOOX

我们考察粗体标出的对角线：OOXXOX。这时候B只需要将这串字符反过来写：XXOOXO。

这样一来，B的第一格和A的第一行第一格不同，B的第二格和A的第二行第二格不同，……。因为是A先填，所以B只需要等A填完第i行，然后在第i格填上与A的第i行第i格相反的字母即可。实际上，对于任意n*n以及1*n的格子都能够使用这个策略，甚至当n→∞的时候都能够保证B不败。

大家应该都想到了，B的必胜策略实际上就是康托当年祭出的对角线法。他用这个方法证明了实数是不可数的，也就是说实数不可能像自然数一样能拥有专属与自己的整数编号。

这个博弈游戏使用了康托证明实数不可数的手法，让我想起了一起看到过有牛人设计了一个博弈游戏，通过这个证明了实数是不可数的。这个游戏的规则是这样的：

参与者仍然是两个玩家A和B。首先A选出[0,1]区间的一些子集，并为S，接着从A开始两个人轮流在[0,1]之间选取数字。A首先在(0,1)中选取数字a[1]，接着B选取b[1]满足a[1]<b[1]<1，接着A选取数字a[2]满足a[1]<a[2]<b[1]，B选取b[2]满足a[2]<b[2]<b[1]……一般地，A的第n次选数字要满足a[n-1]<a[n]<b[n]，接着b[n]要满足a[n]<b[n]<b[n-1]。根据区间套定理，我们知道最后他们每轮选数产生的区间会收敛到一个数T。如果最后发现数字T收敛到了S中，那么B就胜利了，反之A就是赢家。

那么这个游戏和可数集有什么关系呢？因为我们有这个结论：如果S是可数集，那么B必胜。

因为S是可数集，那么它的元素就能够被列举为s[1],s[2],……我们还会发现，B的第n步是在区间(a[n-1],b[n])中选的，如果这个区间中已经没有S中的元素了，那么B自然获得了胜利。如果还存在S中的元素，那么就让B任意选取一个。这样B选完n次数，就会有至少n个S中的数被剔除于区间(a[n-1],b[n])外。因此S中的每一个元素都会在某一步之后被剔除，所以最后T不会属于S。

但是，A是一定能够胜利的。为什么呢？因为只要A让S=[0,1],他就赢了——虽然说很无耻，但是很有效……这样一来，B就不能赢了，[0,1]也就不是可数集了。

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在拍卖里，出最高价者得宝贝，这是毫无疑问的规则。但是这个出最高价者，一定要付出他喊出的价格才行吗？这就不一定了。维克瑞拍卖法就是一个买家不用付出最高价格的规则，它最大的好处，就是能让买家心甘情愿喊出真价钱。

喊多少钱，就出多少钱，是天经地义的吗？

一个古董收藏家为了周转资金，决意卖掉手上的一个宝贝花瓶，于是准备举行一场别出心裁的拍卖。这个拍卖的规则如下：

买家将他们的报价秘密地封装在信封里，然后递给收藏家；
出价最高的人会以自己的报价从收藏家手中拿走那个花瓶。

这个拍卖被称为“第一价格密封拍卖”。它的规则看起来很有道理，但却可能出现这样一个问题：如果花瓶确实价值连城，但是如果大家都耍了个心眼，以为只有自己才是识货的行家，便随意地提交了一个不太高的价格。那么最后有可能是某一位买家花个小价钱捡个大便宜，这个收藏家只能捶胸顿足痛心疾首了。

同时对于买家来说，这样的拍卖方式同样很能让人脑力耗尽大费周章。虽然每一个买家心里都会对这个花瓶开个估价，但是为了赢得这次拍卖，还需要对其他人的出价进行尽可能准确的猜测或者是私底下对整个局面搜集大量情报，才能很好地制定自己的战术。
既然卖家冒着巨大的风险，而买家又在绞尽脑汁，将大量精力投放到了搜集局面信息上，我们有没有什么办法能够解决这种拍卖法带来的问题呢？

维克瑞拍卖法，让买家心甘情愿喊出真价钱

其实，还真有这么一个拍卖方法能解决上述疑虑，只要将上述拍卖的规则修改了一点点：

买家将他们的报价秘密地封装在信封里，然后递给收藏家；
出价最高的人会以第二高的出价从你手中拿走那个花瓶。

一眼看过去，大家可能会不屑地笑道：这不是让卖家的收入更少了嘛！确实，乍一看，本来买家就有可能投机出低价，现在你居然建议买家只用花第二高的价钱便可拍下花瓶。可是这样的拍卖真的对卖家不利么？不一定。

假如你是一名买家，精明的你一定会事先在心中对这个花瓶默默开出了一个价格，这时所有其他买家的出价情况不外乎两种（假设一般价格之间不会相等）：

1. 他们的最高报价高于你的心理期望价格；2. 他们的最高报价低于你的心理期望价格。

我们将以上两种情况列成下表，方便梳理买家出价的逻辑：

因为任意一个买家报价时都不知道他人的报价情况，也就不能知道他人的最高出价是多少，所以唯一的选择即是让实际出价等于心理期望，这样无论他人报价情况怎么样，自己都能得到最好的结果。

那么为什么在第一价格密封拍卖中，买家有可能出现压低价格的情况呢？因为如果买家出价和心理期望价格相同，就算得到了拍卖品，也不过是等价交换，没有产生收益。但把价格压得越低，自己的利润越大，所以第一价格会为了利润而产生压价的心理，即使有风险也愿意去赌一把；而在维克瑞拍卖的规则下，压低价格则纯粹是在增大自己的风险却无法增加自己的利润。
如果每一个买家都遵从这样的符合自身利益最大化的出价规则参与拍卖，那么卖家之前对投机者的担心自然就被打消了；同时对整体信息的掌握和评估对买家来说已然多余，那么买家就能把主要精力放在对花瓶的精确定价上来，节约了很多资源，同时也有可能吸引更多的买家前来竞标。

维克瑞拍卖的弊端以及改进

这样一看，收藏家所担心的问题应该解决了：他的收入一定等价于这些买家中第二高的心理期望价格。但是这是一个完全依赖于买家的心理价格水平的定价，所以卖家可能会碰到另外一个问题：如果所有买家中只有一个有眼光的人开出了较接近真实价的最高价，但是因为其他人的鉴赏能力有限导致第二价格过低，卖家仍然要承担损失。曾经新西兰政府就用维克瑞拍卖，杯具地以6元钱卖出了某个通信频段。

同时，如果部分买家不遵守游戏规则，甚至是与卖家一起串通合谋，那么单纯地使用“诚实法则”便不能保证你的收益。于是，第二价格密封拍卖实际上是让卖家摆脱了投机者带来的风险，转而承担起了买家可能鉴赏能力不足的风险。

所以其实维克瑞拍卖在实际运用中并不常见，更多的是从它出发进行的一些变型。

一种最常见的变形思路便是让所有的买家进行多轮密封价格竞标，每次都公布本轮的最高价格，这样可以弥补对场上局面不了解的不足，同时也能起到一定的监督作用。一个名为“广义第二价格拍卖”[1] 的推广方法甚至被谷歌运用到了自己的网络广告系统 AdWords 当中。但是一般进行了多轮的竞标活动最后的结果往往带有不确定性，让人们难以使用数学和经济学等工具精确地分析拍卖结果。

不知道各位看完此文，是不是有兴趣拿起手边的一些小物品，准备和身边的朋友针对“第二价格密封拍卖”做一次实验了呢？
[1] http://en.wikipedia.org/wiki/Generalized_second-price_auction

本文原载于果壳网

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“我每天晚上会抛一个骰子，那个骰子抛到几点就会让几号囚犯出来有一个小时放风的时间。走廊上有一盏灯，每个囚犯都能在出来放风的时候看见它，还能随意操作那盏灯的开关，决定它亮不亮。让你们全部都得到释放的办法就是：某一个囚犯在某次放风的时候和我说自己认为所有的囚犯都已经放风过了——如果他说对了，那么你们六人都能得到释放，不然的话，你们就要被终身监禁。”

他们有一段时间进行商量，试图想出一个策略来进行交流，然后就被关押到各自的牢房里面，期望从监狱长的手中夺到自由。

如果你是一个囚犯，你有没有策略能够保证他们能够被释放呢？

在揭开谜底之前，不妨慢慢分析一下这个问题——其实就是一些提示啦。首先要注意到只有一盏灯，而且开关灯的过程别人看不见。只有0和1两种状态显然不能记录六个人（后面会发现其实这个数字只是方便配合抛骰子的选择方式罢了）那么多的信息量，那么每个人除了这一盏灯，还有其他的信息来源么？

其实是有的，那就是上一次出来放风（如果有的话），上上次出来，上上上次出来。。。。的时候，那个灯泡的状态。不得不说，时间在这里起了很关键的作用，整个过程积累的信息往往会很有用，然而要想让历史信息有用，那么就只能约定一个有用的规则，每个人都能利用到。

其次，注意到只需要一个人去和监狱长说，同时注意到只要监狱长是按照游戏规则进行真正的随机抽人，那么每个人都会有机会出去放风，所以说大家肯定有机会被放出去。同时也要想到：去和监狱长说的人一个就够，为什么我们不规定某一个人去说呢？因为每个人都有机会出去放风，那么当每个人都出去放过风之后，那个被确定为通知者的人也有机会被放风——此时他已经通过某种方式得知了所有人都能被放出去，信心满满。所以这样的方法不是不可能的。

于是通过上面的分析，可以得到这样一个方案：

约定第一个出去放风的人是通知者——显然对这个身份的理解不会有误。接着便是一个长时间的通过对概率的信任而得到的策略。第一个人将灯泡点亮。从第二次开始，每一个出去放风并且还没操作过灯泡的人如果发现灯泡是亮着的，就将它关掉——这时他便算是操作过灯泡的人了。通知者以后某时肯定会有机会出去放风，如果他发现灯泡是灭的，就在计数器上加一，再将灯泡打开。等到他第5次发现灯泡熄灭后，就可以去向监狱长汇报了。

这个方法其实可以适用于任意多人的情况——只要你假定监狱长没有邪恶地作弊，而且时间足够长。

这个方法一个显而易见的弊端就是无法在最短的时间里去报告，也就是说第六个出来放风的人看着灯泡便能知道自己是最后一个出来放风的人。但是在人数任意多的一般情况下，只有一个灯泡的话是不可能做到这点的，两个灯泡也不能——至少要三个灯泡才能做到。这是《趣话概率》上面提到的，我暂时还没想到三个灯泡的解法，欢迎各种讨论~

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这是一个很休闲的策略小游戏，与很多策略性桌游需要的精密思考相比，鸡同鸭抢更多的是对对手心理的揣摩，甚至可以看成是猜拳游戏的升级版。

玩家在游戏中的目标就是用手中的鸡鸭鹅尽可能地抢饲料，同时避免自己的禽鸟被对手的狐狸吃掉。一共有六个饲料槽，以颜色作为区分，饲料分为1分，2分和3分三种，每轮每个饲料槽随机地添加一个饲料。同时每个玩家手上都有六张颜色不尽相同的手牌，分为三类：禽鸟，狐狸和小偷。简单地说，禽鸟的主要作用是抢食饲料槽中的饲料，而狐狸就是吃掉同颜色的禽鸟。而小偷牌比较复杂，后面再说。每种颜色的手牌只与相同颜色的饲料槽或其他玩家打出的手牌起作用。也就是说，黄色的禽鸟不能拿到红色饲料槽的食物，也不会被蓝色的狐狸给吃掉。

每一轮大家都是同时亮出一张牌，所以就有一点博弈的味道了：如果你打出的禽鸟碰到了相同颜色的狐狸，只能乖乖就范；如果狐狸没有碰到同颜色禽鸟，那么只能空手而归。如果有两个玩家同时打出了相同颜色的禽鸟或者狐狸，就要掷骰子拼点决定谁是赢家——或者协商分配所得也行。禽鸟牌和狐狸牌上都有一个3~6的数字，拼点的时候是比较这个数字加上你掷出的骰子点数，所以写了6的禽鸟比写了3的禽鸟赢得拼点的机会大得多。但是狐狸吃掉禽鸟所得到的分数也正是禽鸟牌上的数字，6点的禽鸟被吃掉就养肥了那只狐狸~正所谓机会越大，风险越大。

因为有可能几轮下来没有任何玩家打出某一个颜色，所以那个颜色的饲料槽不断地堆积着饲料，终于，大家都盯上了这个颜色，纷纷打出禽鸟准备拼点肉搏，但是如果有一个人看准时机打出了狐狸，那那些禽鸟就都被吃掉了，狐狸大丰收。或者说有一个人赌一把打出禽鸟，发现其实大家都不敢要那一堆饲料，反而大丰收。这种时候用来制约狐狸的小偷拍就要登场了。小偷牌在没有竞争对手的时候就可以当作是正常的禽鸟拿走饲料槽所有的饲料，面对禽鸟的时候只能是偷走一个一分的饲料就赶快走人，而面对狐狸的时候也会被抓住吃掉，但是狐狸却扣掉两分~这下小偷就可以去做投机取巧的搅局者了。可以小偷当禽鸟用，也可以让狐狸偷鸡不成蚀把米。

当所有的饲料都加完之后，游戏就结束了，谁的分最高就是胜利者。

这个游戏更多的是揣度对手的心理，看准时机钻空子大捞一笔，或者是打出饿狸扑食，不要让自己的狐狸无功而返，也不要让自己的禽鸟变成饿死鬼哦~

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多米诺骨牌的玩法很多，下面介绍最基本的，其他的游戏都是基于这种的改变。
多米诺骨牌一共有7*(7+1)/2=28块。每一块被中间的一条线分成了两份，每一份都是一个0～6的数字，28块没有重复。
这个游戏是2～4个人来玩的。每人7张牌，谁手上有 6|6 就第一个先出（如果是2或3人同时没有人拿到6|6，则重新洗牌发牌）。将6|6放在中间。接下来每人有轮流出一张牌的机会。第二步及之后的走法就如上图所示，3|6接在6|6的边上，因为他们有共同的点数6，同理2|3接在3|6的边上。而因为3|6将3朝向外侧，所以2|3要将自己的点数3和3|6的3连接起来，这时改成2|3的3在最外侧，等待玩家用含有点数3的骨牌进行连接。中央的6|6能向四个方向扩展（使用有一个点数是6的骨牌接出去），就等于有4个方向的选择。接下来我们就遵守与对接5|6和3|5一样的规则进行游戏——即：如果你的手牌至少有一个点数和四个端点中的至少一个相同，那么你就能够将对应的牌和端点对接，用新骨牌的另一端的点数组成新的端点。每位玩家轮流进行这个过程。如果你没有能够打得出去的手牌，你就要在没有发到玩家手上的牌库中起牌，直到出现一张能够打出去的或者牌库没有牌为止。如果牌库已经没有牌了，你又没有牌能够打出去，就只能选择Pass。
游戏有两种结局。1.最先将自己的手牌打出去的玩家获胜，他得到相当其他玩家手上剩余的所有点数总和的分数，其他玩家得分为0。2.如果比赛过程中没有玩家能够继续接牌（牌库也没有牌了），那么每个玩家摊牌，手上点数最少的获胜，得到相当于其他三个玩家的点数之和的分数。
最后，谁先拿到至少100分(当然也可以是玩家自己规定上限)，他就获胜了。

多米诺的各种变形都是在“接牌”这个核心的基础上演变而来的，无论新规则是什么，接牌时点数相同是永远不变的。做个广告～幻想游戏网上面的这个小游戏就是融合了多种多米诺骨牌规则的作品。上图便是这个游戏的截图。

P.S:这个多米诺骨牌游戏有人说有点像中国的“牌九”。我不知道什么是“牌九”，传说是拿来赌博的？

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（数据截至2007年8月28日）

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