f(Program,Poet)=Programet » 意外 http://blog.programet.org f(诗,程序)=诗序=思绪 | 记载我们自己的生活 Tue, 07 Feb 2012 16:00:20 +0000 en hourly 1 http://wordpress.org/?v=3.3.1 挑战你的直觉 http://blog.programet.org/2010/03/%e6%8c%91%e6%88%98%e4%bd%a0%e7%9a%84%e7%9b%b4%e8%a7%89.html http://blog.programet.org/2010/03/%e6%8c%91%e6%88%98%e4%bd%a0%e7%9a%84%e7%9b%b4%e8%a7%89.html#comments Fri, 19 Mar 2010 17:10:31 +0000 严酷的魔王 http://blog.programet.org/?p=2210
  • 用极限证明伯努利不等式
  • 素数有无穷多个的另类证明（四）：拓扑——或者称为巧妙的集合论方法
  • 无穷中的二分（一）
    • ]]>     3月份的《环球科学》（科学美国人的中文版）上星期入手的，结果一直拖到今天的C++课我才看完。看之前我还和zxy说，加德纳为其写专栏的那个年代的SA是我最想收藏的，因为相比于现在，数学方面的有趣内容真是太丰富了。不过，这次的SA倒算是“意外”，有一篇文章写了几个颇为有趣的问题，让我忍不住在这里和大家分享一下。

    1.最后的叶子看着Malloc，Malloc看着寺雷颠。假设最后的叶子已婚而寺雷颠未婚，那么是否有一个已婚人士看着未婚人士？A.有的 B.没有 C.不能确定

    你会选哪一个呢？是不是AC？

    如果你选择了AC的话，那么你就中计了~虽然说我们不知道Malloc的婚姻状况，但是仔细想一想，无论他已婚还是未婚，都存在“有一个已婚人士看着未婚人士”这样的情况——或者是最后的叶子看着Malloc，或者是Malloc看着寺雷颠，这两束目光总会有一束满足要求的。

    2.假设有一种病叫做SH综合症（看了南方公园S14E01的都懂），这是一种发病率为千分之一的严重疾病。现在假设有一种检测手段绝对不会误诊真正的病人——即如果你的了这种病，那么一定会被检查出来。但是这种手段却有5%的概率将一个正常人误诊为发病的人。那么假设你的检查结果显示你患有这种病，那么实际上你患病的概率是多大？

    你会说95%吗？80%？其实都不对。首先注意到，1000个人里面只有1个患病，那么对于剩下的999个人来说，他们有5%的概率“被患病”，也就是差不多50个人，这样，每1000份报告当中就会产生51个阳性，那么这些报告其实只有一份是正确的——所以，一份阳性报告得到正确结果的概率其实只有1/51，还不到2%！其实这就是一个很容易让人误解的概率问题（其实说起来，概率问题虽然分析起来不难但是最广为流传的就是蒙特霍尔山羊问题）。这里有一篇相关的文章，里面提到了贝叶斯公式，大家可以去进一步学习~

    3.桌上有四张卡片，每张卡片的一面是数字，另一面是字母。现在，你看到的四张卡片朝上的一面分别写着 ‘A’，’K'，’8′和’5′。假如严酷的魔王说：这些卡片中若字母面为元音，则数字面是偶数。那么，你要翻开哪些卡片来检验这条规则的正确性呢？

    SA上面号称大约有一半的人回答应该翻开A和8 。翻开A自然没有什么问题，但是你想想，翻开8真的能起到什么检验的作用吗？其实这个游戏的原理使用了这样的一条规则：“逆否命题与原命题等价”。所以说，对于原来的规则，它相应的逆否命题就是“如果数字面是奇数，那么字母面就不是元音。”照这样的规则，我们应该检查一下5的反面是不是元音，如果不是的话这条规则就成立了。那翻开8为什么不对？其实是因为通过8来检验字母面其实相当于原命题的逆命题：即若数字面是偶数，那么字母面就是元音。仔细地想一想就会发现，逆命题的正确性和原命题的正确性是没有多大关系的。比如，“如果一个人从20层自由落体到地面，那么他就会死掉”以及它的逆命题“如果一个人死掉了，那么他就是从20层自由落体到地面的”，相比之下，后者显然不能因为前者是比较正确地从而推出自己也是正确的。

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    ]]>     http://blog.programet.org/2010/03/%e6%8c%91%e6%88%98%e4%bd%a0%e7%9a%84%e7%9b%b4%e8%a7%89.html/feed 17     素数有无穷多个的另类证明（四）：拓扑——或者称为巧妙的集合论方法 http://blog.programet.org/2010/01/%e7%b4%a0%e6%95%b0%e6%9c%89%e6%97%a0%e7%a9%b7%e5%a4%9a%e4%b8%aa%e7%9a%84%e5%8f%a6%e7%b1%bb%e8%af%81%e6%98%8e%ef%bc%88%e5%9b%9b%ef%bc%89%ef%bc%9a%e6%8b%93%e6%89%91%e2%80%94%e2%80%94%e6%88%96%e8%80%85.html http://blog.programet.org/2010/01/%e7%b4%a0%e6%95%b0%e6%9c%89%e6%97%a0%e7%a9%b7%e5%a4%9a%e4%b8%aa%e7%9a%84%e5%8f%a6%e7%b1%bb%e8%af%81%e6%98%8e%ef%bc%88%e5%9b%9b%ef%bc%89%ef%bc%9a%e6%8b%93%e6%89%91%e2%80%94%e2%80%94%e6%88%96%e8%80%85.html#comments Mon, 25 Jan 2010 09:06:21 +0000 严酷的魔王 http://blog.programet.cn/?p=1959
  • 素数有无穷多个的另类证明（二）：素数的某个求和式
  • 素数有无穷多个的另类证明（三）：被遗忘的证明
  • 素数有无穷多个的另类证明（一）：两两互素的无穷序列
    • ]]>     这个标题的“拓扑”两个字可能会吓到人——其实我看书的时候就吓到我了~这个证明的作者是Furstenberg（我不确定是不是我给出的维基链接的那个人），他在1953年给出了一篇短文，现引用原文如下：

    在这篇短文中我们将对于素数无穷性给出一个初等的“拓扑”证明。我们在整数集合S中，取所有算数级数(-\infty \sim +\infty)的基，S可成为一个拓扑空间。事实上，对于这个拓扑，可以证明S是正则空间，并且是可距离化的。每个算数级数是又开又闭的集合。因为它的补集是具有同样公差的其他算数级数的并，于是，任意有限个算数级数的并也是闭集。

    对素数p，令A_p是p的全部倍数组成的集合。现在考虑集合A=\bigcup _p A_p，其中p取遍全部素数。则\pm1是不在A中的整数。由于{1,-1}显然不是开集，从而A不是闭集。这表明素数有无穷多个。

    不知道读者怎么看这段“原文”，反正我很晕乎……经过努力后终于弄懂了大概意思，所以我将在下面对此进行逐句的解释。

    首先，算数级数就是等差数列，我们不妨从线性空间里面学到的基的定义拓展一下，等差数列的基就是能够结合参数表示出等差数列的“产生元”，那么可以这样定义：E(a,b)=\{an+b\mid a,b,n\in Z\}就是等差数列，其中(a,b)是一个基——因为当我的n作为参数取遍所有整数的时候，可以根据固定了的a和b得到一个等差数列，其中a是公差，b是一个起点。另外，当a和b取遍整数集时，必然可以取到算数级数的所有的基。

    拓扑空间的定义可以参阅维基百科上的资料，而对这个命题真正重要的其实是开集和闭集的概念（这里的开集和闭集并不是如同熟知的数轴上区间开闭的定义），所以在这里我就忽略掉“正则空间”等装B字眼。

    我们的讨论是在整数集上进行，所以可以这样定义开集：

    开集属于整数集且对于开集中的每一个整数b，总能够找到一个合适的公差a，使得E(a,b)仍然属于该集。

    显然，在这里所有的开集都是无限的——除了空集{}。比如，{…,-7,-5,-3,-1,1,3,5,7,9,…}就是一个开集，对于其中的每一个整数（奇数），我们总能找到固定的a=2使得E(2,2k+1)扩展出来的等差数列属于原集合——其实是等于原集合了。又比如，{……,-2,-1,1,2,4,5,7,8,10,11,……}这个集合，直观规律是每两个数就跳过一个数。那么我们也可以找到公差a=3，那么也能够证明此集合是开集。

    闭集的定义就简单了：一个开集对于整数集的补集。比如上面的例一中开集的补集就是闭集，即偶数集。

    好了，定义到这里，我们可以解释第一段的最后两句话了。根据定义可得每一个算数级数显然是开集，然而它的补集也是一个开集，则它本身又是一个闭集——那么可得每一个算数级数是又开又闭的集合。那么要证明“任意有限个算数级数的并也是闭集”，我们只需证明任意有限个闭集的并也是闭集。借助德摩根定律，A\bigcup B就相当于他们的补集的交集的补集(有点绕口啊~)，即A\bigcup B=\sim ((\sim A)\bigcap (\sim B))。他们的补集显然是开集，那么如果开集的交集仍然是开集，那么A\bigcup B就是闭集了。现在假设A和B是两个开集，那么假设有E(c,a)和E(d,b)分别属于A和B，那么显然可以找到一个e，使得e属于交集，同时可以看出E(c*d,e)属于A\bigcup B——所以得到开集的交也是开集。综上一大段所述，闭集的并也是闭集。可以将上述结论推广到有限多个开(闭)集的交(并)集。

    上面一大段可以总结为一句话：有限多个闭集的并集仍然为闭集。

    关于“拓扑”的知识已经铺垫完了，下面我们开始进入正题。A_p等价于这个集合：E(p,0)。那么令p取遍所有的素数，得到了一个集合A。由定义得到A的补集就是{-1,1}。假设素数是有限个的，那么由“闭集的并也是闭集”可以得到A是一个闭集——那么A的补集是一个开集，但是开集要么为空，要么为无穷集合。所以矛盾，证毕。

    虽然说这个证明号称为拓扑学的证明方法，但是有点“浅尝辄止”的感觉，倒更像一次对德摩根定律的巧妙应用——不过似乎切入点仍然是从拓扑中对“开集”与“闭集”的定义得来的。这次看上去有点风马牛不相及的结合让我感到非常神奇，非常牛B~

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    ]]>     http://blog.programet.org/2010/01/%e7%b4%a0%e6%95%b0%e6%9c%89%e6%97%a0%e7%a9%b7%e5%a4%9a%e4%b8%aa%e7%9a%84%e5%8f%a6%e7%b1%bb%e8%af%81%e6%98%8e%ef%bc%88%e5%9b%9b%ef%bc%89%ef%bc%9a%e6%8b%93%e6%89%91%e2%80%94%e2%80%94%e6%88%96%e8%80%85.html/feed 0     用极限证明伯努利不等式 http://blog.programet.org/2009/09/%e7%94%a8%e6%9e%81%e9%99%90%e8%af%81%e6%98%8e%e4%bc%af%e5%8a%aa%e5%88%a9%e4%b8%8d%e7%ad%89%e5%bc%8f.html http://blog.programet.org/2009/09/%e7%94%a8%e6%9e%81%e9%99%90%e8%af%81%e6%98%8e%e4%bc%af%e5%8a%aa%e5%88%a9%e4%b8%8d%e7%ad%89%e5%bc%8f.html#comments Sun, 27 Sep 2009 14:02:55 +0000 严酷的魔王 http://blog.programet.cn/?p=1320
  • 素数有无穷多个的另类证明（二）：素数的某个求和式
  • 无穷中的二分（二）
  • 从(0,1]×(0,1]到(0,1]的双射
    • ]]>     话说我的数分已经起步了，上到了极限。当年我自学的时候没能够认真体会到极限的精髓，导致我对极限的概念就成了四则运算+洛必塔法则……我对极限的认识的升华来自于教材上的一道求极限的习题：

    \lim\limits_{n\to\infty}((n+1)^{\alpha }-n^{\alpha} ),0<{\alpha }<1

    其实第一眼看过去就能大概猜出答案：0.但是要如何去证明呢？当\alpha =\frac{1}{2}的时候，可以分子有理化达到目的。但是这个方法在此显然行不通。我想了蛮久，终于在写C语言作业的时候想到了解法。我的方法还是模仿那个特殊情况的，作了如下处理：

    ((n+1)^{\alpha }-n^{\alpha})*((n+1)^{1-\alpha }+n^{1-\alpha})=1+(n+1)^{\alpha }n^{1-\alpha}-(n+1)^{1-\alpha }n^{\alpha}

    我到了这一步就被卡住了一会儿，因为目的就是够造出像特殊情况时分子可以有理化为常数的那个形式，终于想到应该如何放缩这个式子，即利用下面这个不等式（似乎应该自己证明，没有什么名字命名）：

    x^{p}y^{q}-x^{q}y^{p}<x-y,其中p+q=1,x>y

    然后就好办啦，最后得到原式右边<2，证毕。

    我其实是挺喜欢我的证明方法的，下午教授的类习题课讲了另外一个不比我这个简单的证明方法，但是其中的一个东西让我对极限有了新的认识，所以可以说他的证明对我更有价值。

    前几天sqybi牛在校内（我就是不叫你人人怎么样）上发了一条状态，想找到不需要导数的证明伯努利不等式的方法。这个我当时是不会做的，但是现在我会了。

    我的教授的证明方法就是使用了伯努利不等式作为引理。先看看伯努利不等式的形式（其实是一部分）：

    (1+x)^{\alpha}<1+{\alpha}x,0<{\alpha}<1

    我们先证明这个不等式——保证只使用极限以及自然数的各种定理，绝对不会出现导数。

    先设\alpha为有理数，即

    \alpha=\frac{m}{n}

    则

    (1+x)^{\frac{m}{n}}=\sqrt[n]{(1+x)^{m}*1}\leq\frac{m(1+x)+(n-m))}{n}=1+\frac{m}{n}x

    证毕。

    那么接下来就是难点：如果\alpha是无理数怎么办？极限要上场了。首先又是一个定理（可以理解成为了证明第一个引理而存在的引理- -||）：

    a>0,\lim\limits_{n\to\infty}x_{n}=b

    则有

    \lim\limits_{n\to\infty}a^{x_{n}}=a^b

    这个我就不证明了，难打字。那么到这里，我们应该就能够看出一点苗头了。极限是一个相当美妙与强悍的将有理数与无理数紧密联系在一起的工具。下面证明伯努利不等式。首先可以看出，存在有理数列\{a_n\}使得

    ,\lim\limits_{n\to\infty}a_{n}=\alpha

    从而有

    (1+x)^\alpha=\lim\limits_{n\to\infty}(1+x)^{a_{n}}\leq\lim\limits_{n\to\infty}(1+a_{n} x)

    由于

    \lim\limits_{n\to\infty}a_{n}\leq\lim\limits_{n\to\infty}b_{n}\leftrightarrow a \leq b

    （大家大可以把这个当作第三个引理），所以可以得到

    (1+x)^{\alpha}<1+{\alpha}x

    综上所述，证毕。

    到此引理得证了，sqybi牛的心愿也了了。最后罗嗦一句把书上那道习题给证完——只需要下面这一步了：

    (n+1)^\alpha-n^\alpha=n^\alpha{[(1+\frac{1}{n})^\alpha-1]}\leq n^\alpha{[1+\frac{\alpha}{n}-1]}=\frac{\alpha}{n^{1-\alpha}}

    至此证毕。

    在这里极限终于让我明白有理与无理都不是界限，在某些情况下真是比求导更方便了。而且极限的一些结论一直游走在直观与令人惊叹之间，让我还不能好好掌握……

    PS:这是我第一篇所有公式都使用\LaTeX进行排版的文章，本来是想练习一下，因为以后写论文什么的肯定会用到，不过亲自体验一下后发现这个东西真是科学严谨，难说以后我会发展出\LaTeX癖- -。但是我还是担心一个网页的图片太多会导致访问速度太慢，正如煎蛋所谓的“多图杀猫”……所以如果有读者觉得速度太慢可以在下面留言告诉我。

    Update：教授后来给出了一个非常简单的证明……请大家BS我。主要部分如下：

    (n+1)^\alpha-n^\alpha=n^\alpha{[(1+\frac{1}{n})^\alpha-1]}\leq n^\alpha{(1+\frac{1}{n}-1)}

    这个原理相信大家都能够明白~

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    ]]>     http://blog.programet.org/2009/09/%e7%94%a8%e6%9e%81%e9%99%90%e8%af%81%e6%98%8e%e4%bc%af%e5%8a%aa%e5%88%a9%e4%b8%8d%e7%ad%89%e5%bc%8f.html/feed 14     伯克利分校将星际争霸纳入选修课程 http://blog.programet.org/2009/02/blog-post-6.html http://blog.programet.org/2009/02/blog-post-6.html#comments Wed, 04 Feb 2009 00:19:00 +0000 严酷的魔王 http://test.programet.cn/2009/02/%e4%bc%af%e5%85%8b%e5%88%a9%e5%88%86%e6%a0%a1%e5%b0%86%e6%98%9f%e9%99%85%e4%ba%89%e9%9c%b8%e7%ba%b3%e5%85%a5%e9%80%89%e4%bf%ae%e8%af%be%e7%a8%8b.html
  • 我们有多容易受骗？
  • 夜空下的萤火虫——《众里寻他》番外
  • When Christmas Comes to Town 中文版
    • ]]>     在这里先上两张强图（点击看大图）：

    看懂了吧？这是加州大学伯克利分校的一份课程表！“Game Theory,with Applications to StarCraft”!OMG！
    我关心的问题有几个：
    1.不知道那个教授的水平怎么样——比如他的APM有多少？
    2.WEEK14的活动特别吸引我：Tournament。不知道会不会有录像放出来～
    3.不知道哪里有课件下载。听说上这个课程对学生的要求比较“特别”，比如“掌握微积分”。
    4.不知道他们用的游戏是不是正版～（其实似乎这个问题在美国特别是大学肯定不成问题）
    5.等到星际2出来之后，他们这个课程会怎么调整……（估计暴雪的跳票是个问题）

    图片来自：http://zhiqiang.org/blog/posts/starcraft-lesson-from-berkeley.html

    Update：http://www.youtube.com/watch?v=Uaz_8jZxQEU 这是上课实拍+课后采访的视频

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    ]]>     http://blog.programet.org/2009/02/blog-post-6.html/feed 2     晚上用ATM要小心了 http://blog.programet.org/2008/10/atm.html http://blog.programet.org/2008/10/atm.html#comments Sat, 04 Oct 2008 21:16:00 +0000 严酷的魔王 http://test.programet.cn/2008/10/%e6%99%9a%e4%b8%8a%e7%94%a8atm%e8%a6%81%e5%b0%8f%e5%bf%83%e4%ba%86.html 一个我认识的人（健硕的中年男子）前几天被弄了￥8000……在这里提醒大家注意下。

    他晚上去ATM取500块，他把卡插进去，然后输密码，取钱。在机子吐钱的时候，有一个小青年用手搭在他的左肩上，右边就有一只手伸向ATM。他反应还不错，右手下意识地去拿钱，碰到了右边那只手里面的卡，抢了过来。他拿稳了东西，回头发现有两个小青年在跑，他怒气冲冲地追了一段距离，给了其中一个两拳头，想想自己东西毕竟没有少，就放他们走了。他突然转念一想，自己照道理不应该追得上他们的啊？他马上回到ATM，旁边有一个老人对他说了一句：“兄弟，他们还有一个人的啵。”他把卡插进去，发现密码错误——仔细一看，手里的那一张卡不是自己原来的。他马上打自动电话向建行挂失，可是缓慢的自动电话挂失程序让他终于到查询余额时，卡里只剩下了￥80的零头，密码也被修改了。他去公安局备案，但是肯定没有用了。

    整个作案的思路：一个人上去激怒他，吸引他的注意力，另一个人在手中放一张没有用的卡，随时准备递给他，让他产生已经拿到自己的卡错觉，同时也要快速跑开，让他追着自己一段距离，拖延时间，让第三个人在ATM处修改实际上仍未取出的原主的银行卡的密码，然后把卡拿到最近的一台ATM上取出所有的钱。这件事更可怕的是如果你没有察觉，下次让别人打款进那张卡——你就惨了。还好发觉的早……

    小偷和病毒一样越来越多了，手段也越来越高超。大家晚上去ATM时要注意了，把东西全都拿走再打贼。

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    ]]>     http://blog.programet.org/2008/10/atm.html/feed 2