经常有一些网络迷题让观众看得瞠目结舌。要说的是，这其中不乏一些设计巧妙的。但对于死理性派来说，再精巧的设计，也会被看穿。本文在这里，就解释了几个流传颇广的经典数学谜题奥秘所在。

消失的正方形

这是数学游戏大师马丁·加德纳在《从惊讶到思考》一书中提到过的例子。重新摆放分割的小块图形后，上面的正方形中少了一个小方格，它去了哪里？我们 不妨实际操作一下，做两个全等的、上面没有孔洞的正方形（做的越大越好）。把其中一个按图中的式样精确地剪成所需要的五块，然后重新安排一下，拼成右边的 样子的。最后把它放到未经剪切的正方形上边，让二者的上边和两侧边都重合。你会发现，其实带方格的图形不是真正的正方形。它实际上是长方形，比正方形高 1／12。它的底部多出一个 12 * （1／12） 的窄带，其面积恰好等同于消失方格的面积。

所有三角形都是等腰三角形

这是一个颇为古老的数学把戏。最近又开始在网上流传。不妨来看看这个神奇的结论是如何得到的。

在一个任意△ABC中，做A点的角平分线，交BC边的垂直平分线A’O于点O。然后过O点分别做AB与AC边上的垂线，垂足为C’和B’。

显然△AC'O≌△AB'O，所以 AC' = AB'， C'O = B'O

又因为 BO = CO， ∠OB'C = ∠OC'B

所以△BOC'≌△COB'。  推得： C'B = B'C

AB = AC'+ C'B = AB' + B'C = AC，即△ABC是等腰三角形。

正如前面所说，平面几何的谬误大多都是在有误差的图上做文章的。实际上，角平分线会与其相对的垂直平分线并不相交于三角形内，而是交于三角形外部。所以即使有AC’=AB’，BC’=B’C，我们也能一眼看出AB=AC’+AB’，AC=BC’-B’C。

图里藏人

下面让我们见识一下什么是“大变活人”。

先看两排爷们的脸

把上面的图从中间剪开，然后挪动成下图那样，怎么就少了一个人？

再看下面这张图。

上图仅仅通过两个动作，剪切和互换，就让人数在十二和十三之间变来变去，这是怎么回事？

眼尖的读者或许已经发现了，这种精心的安排其实是移花接木。以“爷们脸”这幅图为例（这幅图较简单），第一个人变成了圆下巴，第二个直接变成了双下巴，第三个的鼻子变大了，第四个的鼻子变长了，第五个换了一个表情，多了眉毛。

因为整个图的面积不变，但是脸个数少了一个，导致剩下的那些脸都变大了一些，其结果就是所有爷们个个是长脸。这种传递式的面积分配，很容易通过上色标记的办法清晰地辨认出来。

而至于第二个图，不得不说那是一个精妙无比的设计。不妨在图片变动之前，对十二个人编号。

再看看移动之后的号码变动情况，其中上身和下身都对应着各自的编号。

如果仔细看，便会发现移动之后1号小小地少了一撮头发，10号的鞋底也被削了一层。他们各自都被从身体的某个部位切割下一点东西，活生生拼凑出了一个人。当画面上出现13个人时，每个人都比出现12个时要矮 1／13。

两幅图的原理都是通过累积很多次细微尺寸的变化，最终改变图中物品的数量。第一幅较为简单，而第二幅用十二人切合成十三个，做了十二件事（从每个人身上“偷”一点），但却只用了两个动作！其精巧程度实在让人佩服。

有趣的是，有一种古老的伪造钱币的方法正是以这种原理为基础的。按照上面的方法可以类似地把九张钞票分成18份，重新安排成十张。但这样伪造的钞票 很容易被侦破，不建议读者采用。因为票面上特殊的两个数字串，钱号在这种操作下已不相匹配。在所有的钞票上，这两个数字串都是位于相对的两端，一高一低。 这正是为了挫败这种伪造企图。

看似一样的信息，不一样的结果

一位母亲有两个孩子，有人问母亲的朋友A，两个孩子都是女孩吗？这位朋友说：“我不清楚，但有一个是女孩”。母亲的另一位朋友B说：“我上次去她家，看到一个女孩”。朋友A听到，表示不屑：“这和我说的不是一样的吗”。

看起来这两个信息没有差别，但它们真的是等同的吗？

答案是：不同的。由A给出的信息可以推出两个孩子全是女孩的概率是1／3，而由B则是1／2。

让我们仔细分析一番。根据A的叙述，我们知道“两个小孩中有女孩”，而两个小孩的性别组合有四种情况：男男，男女，女男和女女。因为知道了两个小孩中有女孩，所以可以排除“男男”，两个小孩都是女孩的概率便是1／3。

而B的陈述是看到一个孩子是女孩，问题实际上就转化成了“另一个孩子是不是女孩”，因此两个小孩都是女孩的概率是1／2。

为什么呢？这是因为在进行概率计算的时候， 不确定的描述往往意味着更多的可能性 。一个类似的例子是，打牌的的时候，如果有人说，“来打个赌吧，我现在有一张A，猜猜我还有没有更多A？”这种情况下他很可能会输，但如果他报出抓到的那张A的花色，“我现在有一张黑桃A，猜猜我还有没有更多的A？”那结果就截然不同了。死理性派之前对此有过一个 详细的分析 。前一种情况下，有更多A的概率是 37% ,而后一种有更多A的概率一下就跃升为 56% 。面对这样反常的结果，不了解概率论的人，都会被吓一跳。

类似这样“想不通”的例子还有很多。比如著名的三门问题。换还是不换？这是一个让无数人纠结的问题，据说很多人在看了详尽的分析后，依然觉得有违常 理，不能接受。“最高IQ人类”的玛丽莲在当年公布自己的答案——换一扇门时，立刻引来巨大争议，无数人觉得她回答错了，并写信“纠正”她，这些记录都保 留在它的个人网站上。就是直到今天，这个游戏依然困扰着不少人。

我后来又在这里补充了一个进一步的说明。

双赢的赌局

甲和乙各自收到女朋友送的领带。两人见面开始争论谁的更贵，最终决定打个赌，去商场调查，谁的领带贵谁就算赢， 而赢的人要把领带送给输的人作安慰 。

甲认为他在这个赌局中输赢是等概率的。如果赢了，那么失去的是自己戴的这条领带。而如果输了，则会得到一个更贵的领带。所以这个赌局对他是有利的。

当然乙也可以这样想。但问题是，打一次赌怎么会同时对双方都有利呢？

这个著名的问题由法国数学家莫里斯•克莱特契克在他的《数学消遣》书中首先提出。他指出，要想这个游戏公平，必须限制条件。比如甲乙二人对对方女朋 友的阔绰程度一无所知等。如果说甲的女朋友出手相对更阔绰些，那么甲的领带就有较大的可能比乙的要贵，他就更倾向于输掉这次打赌。

这个例子后来衍化成著名的钱包悖论，道具由领带变为了钱包：由第三者计算甲、乙二君钱包里面的钱，钱少者可以赢走钱多者的钱。

实际上，甲、乙二人的错误在于，他们只根据“可以赢更多的钱”这点，就做出这场赌博对自己有利的结论。但这场赌博对谁有利，应该以谁可以“赢得这场赌博”而不是“可以赢更多的钱”来判断。以赌谁钱包里钱少为例。判断谁有胜算，必须注意两点：

• 必须计算期望值。

• 钱包里有多少钱是很随机的。

所以正确的逻辑应为：

• 如果我的钱包里有较多的钱，那么我参加这个游戏，会输掉较多的钱。

• 如果我的钱包里有较少的钱，那么我参加这个游戏，会赢得较多的钱。

这两种情况的可能性是均等的。而且，由于总有一个人赢得另一个人输掉有更多钱的钱包，这个游戏是均衡的。所以它的结果应该是甲、乙各有一半的可能获胜。也就是说，这个游戏 是公平的 ，并不对哪一方有利。

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在条件概率的趣题中，最出名的便是”三门问题“了。现在我尝试尽量严谨地重述这个问题的主要部分。

在一个娱乐节目中，每一个最后的赢家都面临着一个碰运气的选择题。他会看见一块板子，上面有三个门，其中一个门的背后是汽车，另外两个门的背后是山羊——当然，大家都想得到汽车。在门没有被打开的情况下，赢家是不知道门背后是什么的。他可以随机地选取一个门，然后主持人将他选择的门打开，如果是汽车的话，他就赢得了大奖，否则只能抱着一头山羊离开了。

如果题目背景就是这样，那么他选中汽车的概率就是1/3。但是还没完，为了增加趣味性，事先知道门背后是什么图案的主持人在赢家选中某一扇门之后，呼地打开了另一扇门——这扇门背后是一只山羊。现在，赢家选中了一扇门，还有一扇门不知道背后是什么。现在的问题是：赢家从刚才自己选中的门转换到另一扇没被打开的门，自己赢得汽车的概率会不会有所提高呢？

我们为了计算概率，通常都会用一些运算式来进行表达，这样虽然比较数学，但是有时候不那么容易让人理解。所以我希望能以”多次试验中某事件发生的次数“来代替概率的计算，这样比较容易理解，而且一般结论也不会出错。

假设上面提到的节目一共举办了6000期，那么赢家第一次选择就选到了汽车的次数是2000次，选中山羊的次数是4000次。无论赢家第一次选的是什么，主持人都会展示一只山羊。如果赢家不选择更换一扇门，那么他只有2000次的机会赢得汽车。现在假设赢家无论怎么样都会换到另一扇门上。

在4000期节目中，赢家指中了一只山羊，同时主持人掀开了另一只山羊，那么如果他这个时候选择换到另一扇未被打开的门上，那么他就能赢走一辆汽车。所以他会赢得4000辆汽车

在另外2000期节目中，赢家指中了一辆汽车，这时候他同样选择换一扇门，于是自己便只能得到一只山羊。所以他会赢得2000只山羊。

相比之下，坚持第一直觉，就有2000辆汽车；不坚持第一直觉，就有4000辆汽车。所以更换自己的选择更好。

如果觉得从直觉上难以接受的话，不妨继续思考这个问题：
在什么情况下我更换一扇门会让我赢得一辆汽车？那么当然是在第一选择就选中了一只山羊的情况下。
在什么情况下我更换一扇门会让我赢得一头山羊？那么当然是在第一选择就选中了一辆汽车的情况下。

这两种情况哪种的发生机会更大呢？显然是第一选择就选中了山羊更容易发生。选中山羊的时候换门就选中了汽车，反过来选中汽车的时候换门就选中了山羊。所以第一选择选中山羊的概率和换门之后选中汽车的概率是相等的——既然第一选择更容易选中山羊，那么换门之后就更容易选中汽车。

另一个比较著名的”男女问题“，大概是这样描述的：一位母亲有两个孩子，有人问母亲的朋友A，两个孩子都是女孩吗？这位朋友说：“我不清楚，但有一个是女孩”。母亲的另一位朋友B说：“我上次去她家，看到一个女孩”。朋友A听到，表示不屑：“这和我说的不是一样的吗”。

我们把这段话陈述得再清晰一些。
朋友A的信息获得可以是这样的途径——他直接问那个母亲：你家有女孩么？ 母亲羞射地回答说：有的。
那么，对于朋友A和朋友B来说，他们的信息量一样吗？

假设我们在一个有200户人家的村子里考虑这个问题，每一户人家都有两个小孩。有50户人家是两个男孩，50户人家是两个女孩，100户人家是一男一女。

对于朋友A的问题，50户两个女孩的人家和100户一男一女的人家都能够给出相同的回答。于是对于朋友A来说，他觉得那位母亲有两个女孩的概率是1/3。
对于朋友B来说，他一定没有看见且只看见了一个小孩——不然他就知道两个小孩的性别了。他一定会在两个女孩的人家中看见一个女孩，同时有可能在一男一女的人家中看见一个女孩。对于那100户人家来说，只有50家会被他看见女孩，另外50家会被他看见男孩。所以，会被朋友B看见一个女孩的人家一共有100户，其中50户人家是两个女孩的。于是对于朋友B来说，那位母亲有两个女孩的概率是1/2。

恩，我猜这样的说明更容易理解一些吧。对于三门问题，大家可以来这里围观一个编程进行试验的代码。

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你知道吗？每年诞生上万部电影，但电影的总数却如同石油一般是有限的。不仅是电影，书籍、音乐甚至你的人生都是如此。难以想象？让本文告诉你这是为什么。

如果有人说，你的一生其实就如同被装在一个箱子里面，你会相信吗？你的一生，不会像广告所说的那样“精彩无极限”，我们每天能看到的图像和听到的声音，其可能性其实只是有限多种。

这是为什么？让我们先从电影说起吧。

图像

每个人都或多或少都看过一些高清电影，比如说一部1080p（1080p:垂直方向1080行逐行扫描合成一帧图像）的《致命魔术》。它的分辨率为 1920*1080，也就是说这样的一部电影中的任意一个镜头都含有2073600≈2.1M个像素点。在常用的视频格式中，这样的画质非常清晰，完全能够满足视觉要求。另一方面，科学研究表明，人眼能够辨识大约一千万种颜色。让我们做一个合理而宽泛的假设：每一个像素都有可能呈现出这么多种颜色，那么通过数学计算可以得知，存在且仅存在 种不重样的静态图像。不论是前年的《变形金刚》绚丽剧照还是十年后的菲利普奖的获奖作品，都包含在内。

而在电影视频及数字视频上，每一帧都是静止的图像，快速连续地显示帧便形成了运动的假象。每秒钟帧数越多，所显示的动作就会越流畅。通常，一秒钟 30帧的速度已经足够让眼睛受骗，使人们在脑海中形成流畅的动态画面。于是，我们在一秒钟之内能看见的流畅动画大概就有且只有种这么多（这里以时间秒来作为考量单位）。这个数字大约当于 那么多，庞大，却是有限的。

声音

看电影总得有声音吧——一句广告词说得好：没声音，再好的戏也出不来。在信息论上，我们有一个著名的“奈奎斯特-香农采样定理”，大概陈述是这样的：

如果信号是带限的，并且采样频率高于信号带宽的一倍，那么，原来的连续信号可以从采样样本中完全重建出来。

人的耳朵大概能听见20Hz到20000Hz的声音。在这样的频率下，我们只需要使用40kHz的采样频率便能满足定理的要求。实际上一张CD使用的采样率是44.1kHz。为了简单起见，我们不妨假设视频的音效和一张CD的音效差不多。44.1kHz意味着我们每秒钟要采集44100个声音样本，而每一个样本通常都需要占用16bit的空间，那么每秒钟就会录制16×44100=705600≈0.71M bit。于是可以算出，总共有 种不同的持续1s的声音，同样是有限的。

视频

将声音和图像联系起来就是视频。那么不同的一秒钟视频的总数就是 ！通常，一部电影时长有几个小时，假设一部电影时长不超过两个半小时，这些电影也一定由前述那些不同画面与不同声音搭配而成。那么时长不超过两个半小时的电影总数就是：

我暂时不知道怎么样才能简单地表达出这个式子的结果，因为这个数字大到难以想象，甚至是它的位数都大到难以想象。不过可以确定的是它仍然是有限的。

人生其实就在一个大箱子里

理论上说，给我足够的时间和资源，我就能够造出所有可能的电影。仿佛所有的电影然都被放在一个硕大无比的箱子里，这个箱子里的电影有《狮子王》，《肖申克的救赎》等等。事实上它还包括了所有未来将会拍摄的电影！

望望远处的绿叶，听听周围的声音。

是不是突然觉得你所听见的、看见的综合起来，其实和一部很长的电影并无二致？是的，或许我们的眼睛像素比1080p的更高，或许我们的耳朵采样率比一张CD的更高，但是这一点也不影响“电影总数是有限的”这一基本特征。实际上，你这辈子就像在看着一部电影：

你憧憬那精彩的一生，其实就在一个大箱子里。

但是请不要灰心，即使身在果壳之中，我们依然可以成为无限宇宙之王。猴子在有生之年敲不出莎士比亚全集，我们在有生之年却能做出许多创造历史的事情，简单如洗牌都是如此，原因正是：虽为有限，依然难以重复。

每一次洗牌都在创造历史

你知道吗：每一次洗牌，你都在创造历史。

大家打牌时或许会经常有“怎么和上局这么像”、“怎么又是这样”的感觉。想打到一模一样的牌局？如果你认真洗牌，这样的情况几乎永远不会发生。 1992 年，Persi Diaconis 和Dave Bayer 的一篇论文中提到， 七次交叉洗牌基本上就能让54张牌所有可能的排列概率均等地出现了（参看 这篇文章 ）。你知道 54 张扑克牌的排列共有多少种吗？答案是：

54! = 230843697339241380472092742683027581083278564571807 941132288000000000000

也就是大约 。这是一个非常非常大的数，仅是其数量级就已经接近于整个宇宙的基本粒子总个数了。按照宇宙大爆炸理论，目前宇宙已经有 137 亿岁了，这相当于是 秒。如果从宇宙诞生开始，每一微秒内都有一个人在洗牌，那么宇宙间发生的总的洗牌次数也不超过次。即使这 次洗牌的结果各不相同，和原来的某次洗牌结果撞在一起的概率也只有 10 的 47 次方分之一。

因此，几乎每一次洗牌， 你都能创造一个历史上从未出现的排列顺序。扑克牌游戏的乐趣，或许正在于此——每一个牌局，都是独一无二的。

看到这里，你还会担心自己的独特会被别人在无意中重复吗？

本文出处： SPIKED MATH COMICS : http://spikedmath.com/420.html

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一般这个游戏在2~10人之间依次进行（理论上说没有人数的上限，但是我最多好像也没有和超过10人玩这个游戏）。每个人手中都有相同数量的骰子，一般是4~6个，开始之前摇一摇~每个人只能看见自己的骰子点数。接着从某一个人开始——一般是上一局输了的人，第一个人要做的就是叫点数，格式是“X个Y”，意思就是你认为在所有玩家的骰子中至少有X个点数为Y的骰子，比如有人叫“6个3”，那么就是说他相信在这些玩家手中至少有6个骰子滚出了3点，其中X不能小于玩家数。每一个玩家叫完点就轮到下一个，此时下一个玩家有两种选择：继续叫点数或者是选择“开”。继续叫点数的规则如下：X不能小于上家的X；如果X比上家的大，那么Y只要是1~6就行了；如果X与上家的相等，那么Y就要大于上家的Y（规定此时1>6>5>4>3>2）。比如我的上家叫了5个4，那么我就可以叫5个5，5个6，或者6个2之类的。这个规则和升级或是桥牌中的叫主牌规则有点类似吧~如果玩家不继续叫点数，而是选择了“开”，那么他的意思就是不相信上家叫的数量，这时候所有的玩家都展示自己的骰子点数，清点一下现在的情况是否满足上家叫的数量，如果满足了，那么开的人就罚一杯酒，反之被开的人就被罚。

为了游戏的趣味性，规则当中还添加了一条十分重要的内容：点数为1的骰子可以当成任意点数——除非有人叫了“X个1”。这样一来如果我的手中有2个1点，1个3点，2个5点，那么我就相当于有3个3，同时又有4个5！——除非有人叫了“3个1”或者“5个1”之类带1的点数。这样一来变化就丰富了，即使两个人玩，你也不能马上猜到对方手中大概的点数分布情况。

规则就是这样，下文的分析都以没有叫“X个1”的情况为准。先举一个例子来说明一下游戏流程，免得有人看不懂我上面的描述- -同时下文也将以此进行分析。

假设3个玩家A，B，C，每个人手中有5个骰子。A手中是1,1,3,4,6；B手中是1,2,5,5,5；C手中是2,3,3,4,5。从A开始叫点数。

A：（其实3，4，6都可以，随便选了一个）4个3

B：（自己只有1个3，换一个数字探探C的手风如何）4个5

C：（一般犹豫一下）5个3

A：（见C好像也有3）6个3！

B：（见自己手中只有一个3——1此时可以当作3来看，于是一般犹豫一下）开！

（然后一清点，A手中有3个3，B手中有1个，C手中有2个，加起来正好6个，于是B杯具）

这正是比较典型的一局。理解了游戏流程后，我想提出的问题是：我们有哪些对自己有利的策略呢？

我们把复杂的心理学之类的问题忽略掉，那么这个游戏自然转化成了一个概率问题。假设一共有n个人在玩这个游戏，每个人手中有m只骰子，那么每个点数的平均数量就是m*n/6，再加上点数为1的数量，每个点数的平均数量应该是m*n/3。当我们在玩游戏的时候，自己手中的骰子点数是已知的，那么未知的点数平均数量就应该是m*(n-1)/3。再加上你手中该点数的实际数量，就得到了这个点数的数量期望。

如果假定骰子的点数满足二项分布（即只有是或者不是两种情况），那么可以计算得到：对于m*(n-1)<=61的情况来说，某点数的实际数量更有可能在期望±2个的范围内出现；当m*(n-1)<=22时则更有可能在期望±1个的范围内出现。这个震荡幅度的估计有助于我们进行叫点数时的决策，特别是第一个叫点的人，此时没有其他人的叫点信息，一般也观察不到什么《Lie To Me》等级的暗示，于是他只能通过数学的计算来给自己大概选择一条出路。——不知道有没有人会联想到，其实这个震荡幅度正是一个<50%的置信区间~只不过我们使用的模型改变了，从一个连续的模型（t-分布）转变成了一个离散的模型（二项分布）。通过对这个区间的掌握，我们可以更精确地控制叫点数的范围以及在一定程度上判断继续叫或者开。

在上面所举的例子中，n=3,m=5。对于A来说，3的数量期望应该是3+5*2/3约为6.3，而m*(n-1)=10<22，所以3点的数量更有可能出现在5~7之间，A如果叫5，假如B叫6，C叫7，A就比较难以决策了。所以A选择叫4点，虽然保守，但是不会导致轮一回转到自己的时候出现让自己尴尬的场面。注意到游戏每一次只会有一人受罚，所以说我们为了避免被罚，应该更多地考虑如何让自己叫到一个安全的点数而不是叫到一个正好踩线的点数。

以上便是数学层面的简单分析。但是只要是有人参与的游戏都不可死板地套用公式，人和人的较量总是会让局面变得更加难以控制。比如上例中B如果故意“错叫”了5个3，那么C可能以为A和B都有很多的3点，于是可能跳过6直接叫7个3，那么不是A杯具就是C杯具——如果A不开继续往上叫无疑就中了B的陷阱，B自然不会继续叫下去。也有可能A大胆往上叫第一下就直接开出6个3，B这时候就两难了。站在局外人的角度来看，B根据自己的骰子情况应该选择开，但是如果往上加一个变成7个3，反而会引诱C继续往上叫。恩……博弈论神马的好像准备冒泡了……打住。
我的简单介绍就到这里，任何游戏都还得亲自上阵，纸上谈兵都是没用的~希望大家玩得开心~

P.S:这篇文章中我给出了一个生活中的例子，其中小小地应用了一下置信区间，于是干脆就划分到了这个系列之中。另外我今天下午的6人5骰局就半个小时都没有被罚~当然其实这也和我上下家有点关系……上家是一个永远都8个9个起叫或者6个7个也开的傻孩子，下家是一个无论我叫什么都继续叫的傻孩子……笑~

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《女士品茶》读书报告

——关于概率的思考

《女士品茶》这本书按照作者的说法，是一本适合于不懂得或者略懂数学的人进行阅读的书。全书以“女士品茶”这一个早期的统计学实验开始，详细地叙述了一个多世纪以来统计学的诞生和发展的历史，在一个个精彩的人物和故事中将统计学各个领域的思想向读者进行了简明扼要的介绍。

在我看来，这本书的内容从学术的角度来说写得比较软，但是让这本书成为经典的不是其中的学术分析，而是其视野的独特和广阔。全书用了一百多页的篇幅将统计学历史以及现在的整个统计学发展轮廓涵盖其中，确实是让人入门统计的一本好读物。

这本书还有另一个让我觉得提升了其自身价值的地方，那就是它毫不避讳地指出了当下统计学中遇到的困境。比如现在统计学遇到的哲学困境：概率是什么？书中列举了三个尚未有定论的问题：

1.可以同统计模型来做决策吗？

2.当概率应用于现实生活中时其含义是什么？

3.人们真的懂得什么是概率吗？

书中已经写到，数学家们已经通过公理化的方法稳固了概率论在数学上的地位，但是当下数学和生活密不可分，统计学更是在各个领域皆有用武之地。所以我们应该仔细地想想上面的三个问题。

一、可以用统计模型来做决策吗？

按照最标准的数学史，概率论是从费马和帕斯卡研究一个赌徒所提出的问题而产生的。所以应该看出，概率论能够发展到今天，其实是由于大家需要进行决策所带来的动力。这门学科本身就是为了指导人类行为而产生的。但是这里问到的统计模型却又是另一回事。为了说明在这里遇到的困难，书上提到了一个显著性检验的悖论。假设显著性水平设定为0.0001，那么我们可以组织一次公正的10000张彩票的抽奖活动，其中只有一张只中奖券。按照这个假设，第一张彩票中奖的概率为0.0001，于是我们拒绝这个假设，依此类推，我们可以拒绝任何一张彩票中奖这个假设——但是，这些彩票中必然有一张会中奖。矛盾就在这里。

在我个人看来，其实这并不是矛盾。假设检验是有检验效能的，每一个断言都有错误的概率，对10000张彩票进行检验，要想不犯错的概率是非常低的。所以说我们可以同统计模型来做决策，但是不要将其结果当成断言，而是当成一种可能性分析，即这件事情发生的概率是多少。如果接受了概率，那么自然统计模型能够对我们做决策进行指导。

现在的问题转移到概率了。

二、当概率应用于现实生活中时其含义是什么？

我准备在这里对概率在实际生活中进行一种比较科幻的解释，先说说物理学。

当科学家们开始研究量子力学的时候，发现对实验现象的描述不可避免地要使用概率论。双缝实验，不确定性原理，电子云等量子力学中出现的违反直觉的现象让大家开始思考，什么才是真实。爱因斯坦说过：上帝不玩骰子。但是物理学的发展似乎正在推翻这个结论。下面说一个物理学中的假想实验。在一个内部真空的盒子中放入一个电子，我们不去观测它。量子力学说，我们无法知道它究竟在哪。如果我们某一时刻用一块板子插进盒子将其分成两部分，那么电子必然在某一边——可是我们无法预测在哪一边！如果两部分体积相等，那么电子出现在某一边的概率就是50%。只有当我们实实在在地进行观测时才能够知道那个电子究竟被分到了哪一边。根据量子力学理论，观测之前这个电子既在这边又在那边！整个物理学以前从来没有接受过概率理论，那么显然，就算是为了爱因斯坦的那句话，物理学家中也必须有人做些什么。

于是有人在1957年革命性地提出了一个观点。这个人就是休·艾弗雷特三世，他的理论叫做“多世界诠释”。多世界诠释认为，观测时分离出多个平行宇宙，每个宇宙都有一个确定的状态，而我们只是在其中的一个特定宇宙。根据这个理论，我们观测上述的电子实验时，已经分离出了两个平行宇宙，一个是在左边，另一个是在右边。这两个宇宙会互不干扰地存在着。甚至可以这样理解，我每抛一次硬币，就会分离出一些平行宇宙，其中一些宇宙中的“我”得到了正面，另一些宇宙中的“我”得到了反面。于是我得到正面还是反面的概率实质上就等同于这一次抛掷硬币分离出的“正反宇宙”数量之比。

这个理论的一个优点在于，我们无需对概率进行更多的解释，物理学家已经帮我们避开了现实世界中所谓的“概率”。既然不存在概率，那么我们就不需要讨论概率在实际生活中代表什么了。

这个理论看上去有其很明显的缺陷。平行宇宙是一个一个的，也就是说最多分离出可数个。但是概率常常与无理数结合紧密，例如布丰的投针实验的概率就涉及到了圆周率。这种情况下无法使用“平行宇宙数量之比”进行研究。但是物理学家声称，宇宙中有最小的长度单位：普朗克长度。也就是说，我们的世界其实是离散的，由很微小的点“逼近”出一个连续的世界的模样。所以，数学上对连续空间中的概率分析恐怕在这里就不适用了，因此也不会出现无理数。至少在这一点上，使用平行宇宙来解释实际生活中的概率论没有什么问题。

三、人们真的懂得什么是概率吗？

这是作者列出来的最后一个问题。看上去我对上一个问题的回答改变一下也可以套用在这里，但是鉴于作者的这个问题主要侧重于人们对概率的心理认知，于是我也从这个角度说说我的想法。

对于作者这一段的论述，我基本赞同苏佩斯那个简单的概率模型。人类的心理是模糊的，对概率这样尚未有正确认识的事物更是无法如手术刀般精准地划出上百个等级，只能分出一个大概。如同作者所说的：“天气预报员尽力想区分降雨概率90%和75%间的不同，但实际上他们根本不可能说清楚。”

不过话说回来，这些在概率上的精确有用吗？在赌博上，在经济运行上，概率应该确实是有用的。但是，就比如天气预报中的90%和75%，我会为了这两个概率没有到达100%而出门赌一把不带伞吗？当这些概率不能通过明白直接的计算得到一个期望，而我们却希望从中得到一些指导性意见时，人脑只能将其分成几个大类，有点类似“全部，大部分，一半，小部分，没有”这样的比例描述。这样的分类对于绝大部分情况都够用了，一般人心里都会这样做：把“大部分”当作“全部”，把“小部分”当成“没有”。至于“一半”的情况，我们常常会听到“我有硬币，你要不要抛一抛”之类的言论，也就是说其实我们对这种情况无法进行简单的优劣判断，需要外界来帮忙。

人类进行决策的时候更多依靠直觉而不是理性，所以说，是否对概率有了精确的理解对于人们的日常决策并没有多大的帮助。

小结

以上便是我在读完了《女士品茶》这本书后对概率的思考。统计学作为一门应用性学科，我们必须要对其理论与生活的结合有深刻的了解。我认为，在概率上进行的深刻思考对统计学的发展会有很大的作用。因此我对作者提出的几个概率论的问题进行了简单的思考。

书中所描述的20世纪是一个统计学蓬勃发展的世纪。我认为，21世纪是一个概率统计能够被每一个人所接受的世纪，概率将会成为每一个人的生活基本常识。这，大概需要一位书中时常提到的“还未出现的天才”来带领吧。

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