如果我们有两个英雄X和Y，他们每次攻击造成伤害的数学期望是一样的。那么如果他们的攻击目标Z的血量无限，在经过足够长的时间之后，他们造成的总伤害期望也应该是一样的。
但是实际上，DotA的英雄血量并不是无限的。这时就会有一个问题了，让X和Y对打的话，谁赢的几率大一些？

于是我对这个问题进行了一下自己的思考，同时也挖了一个坑。

先简单叙述一下SQYBI牛的问题：假设英雄Y的攻击力稳定为一个值，英雄X的攻击力在上下限中浮动，同时具有暴击——就是一定概率打出k倍于平时的攻击力，其中假设这两个英雄的攻击力期望值相等。然后让这两个英雄分别攻击具有同样血量的目标（护甲什么的其他因素一概忽略），那么他们的攻击次数的期望谁更少？

将这个问题抽象出来便是：在数轴上有两个动点X和Y位于0点，Y每次向右移动的距离是固定的，X向右移动的距离是不定的，但是两个动点移动距离的期望是相等的，现在问要到达或者超过点L，X和Y哪个点移动的次数最少？希望这样叙述一遍之后不会再造成一些不必要的误解了。下文依旧按照原题背景进行分析讨论。

我开始在原背景基础上尝试建立一个简单的模型。假设目标的血量是L，英雄X的普通攻击力是A——此处先不考虑攻击力在上下限中浮动的问题，即只有普通攻击和暴击两种情况。打出暴击的概率是p，暴击能打出k倍于普攻的攻击力。那么X的攻击力期望值就是，这个也是英雄Y每次都稳定的攻击力。显然得到Y的攻击次数便是（取天花板数）。主要问题便是分析X的攻击力。假设X在整个攻击过程中打出了t次普攻，s次暴击，那么可以得到一个不等式 。显然，对于每一组(t,s)，这都是一个贝努利实验，于是每一组(t,s)对应的情况出现的概率便是

接下来便是确定t和s的取值情况。对不等式进行变换，便可以得到 ，由于s是满足此式的最小整数，那么便能得到 。所以我们能够通过t来确定s。显然的，t的取值范围是，那么与概率式相结合，我们就得到了英雄X的攻击次数期望：

其中

下面便是真正困难的地方了：我们求出了两个英雄的攻击次数期望值，但是难以对它们进行比较。于是我便考虑通过mathematica对这两个情况进行分析，情况如下：

以上是我的代码，即将概率p视作连续因变量进行作图分析，在下面的几幅结果图中，靠右的一条线是英雄X的，分段的线是英雄Y的结果

A=20,k=4,L=200的情况

A=30,k=4,L=200的情况

A=20,k=4,L=350的情况

A=20,k=8,L=200的情况

通过上述mathematica对一些参数的具体值进行的分析结果，我们可以得出，英雄Y的期望攻击次数确实是小于英雄X的，也就是说对于同样血量的目标，拥有稳定的攻击力能够用更少的次数击杀掉它。

下面的坑便来了：我试图进行更一般的分析。假设英雄X的攻击力为，对应的击出概率为。那么便有攻击力期望。此时易得Y的攻击次数。假设在整个攻击过程中，英雄X进行了次攻击力为的攻击，那么我们也能同样地列出一个不等式：。对于每一组，都能通过多项分布的公式计算得到此组数出现的概率是

然后仿照前述方法便可求出期望，但是式子异常繁琐。通过mathematica对一些参数的具体值进行分析可得到，基本上Y的攻击次数还是大于X的攻击次数的。

现在的坑就是：怎么样通过分析上面的期望表达式进行一些定性分析。例如我可以猜想打出暴击的概率越大，暴击的倍数越小，则攻击次数期望越接近。或者是分析当两个英雄都不是稳定攻击力时，在攻击力期望相等的前提下怎么比较攻击次数的期望大小。我认为只有讨论了这些，才是对这个问题的彻底解决。

恩，暂时就能想到这么多，不知道SQYBI牛和读者有什么想法~~

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这是一个很休闲的策略小游戏，与很多策略性桌游需要的精密思考相比，鸡同鸭抢更多的是对对手心理的揣摩，甚至可以看成是猜拳游戏的升级版。

玩家在游戏中的目标就是用手中的鸡鸭鹅尽可能地抢饲料，同时避免自己的禽鸟被对手的狐狸吃掉。一共有六个饲料槽，以颜色作为区分，饲料分为1分，2分和3分三种，每轮每个饲料槽随机地添加一个饲料。同时每个玩家手上都有六张颜色不尽相同的手牌，分为三类：禽鸟，狐狸和小偷。简单地说，禽鸟的主要作用是抢食饲料槽中的饲料，而狐狸就是吃掉同颜色的禽鸟。而小偷牌比较复杂，后面再说。每种颜色的手牌只与相同颜色的饲料槽或其他玩家打出的手牌起作用。也就是说，黄色的禽鸟不能拿到红色饲料槽的食物，也不会被蓝色的狐狸给吃掉。

每一轮大家都是同时亮出一张牌，所以就有一点博弈的味道了：如果你打出的禽鸟碰到了相同颜色的狐狸，只能乖乖就范；如果狐狸没有碰到同颜色禽鸟，那么只能空手而归。如果有两个玩家同时打出了相同颜色的禽鸟或者狐狸，就要掷骰子拼点决定谁是赢家——或者协商分配所得也行。禽鸟牌和狐狸牌上都有一个3~6的数字，拼点的时候是比较这个数字加上你掷出的骰子点数，所以写了6的禽鸟比写了3的禽鸟赢得拼点的机会大得多。但是狐狸吃掉禽鸟所得到的分数也正是禽鸟牌上的数字，6点的禽鸟被吃掉就养肥了那只狐狸~正所谓机会越大，风险越大。

因为有可能几轮下来没有任何玩家打出某一个颜色，所以那个颜色的饲料槽不断地堆积着饲料，终于，大家都盯上了这个颜色，纷纷打出禽鸟准备拼点肉搏，但是如果有一个人看准时机打出了狐狸，那那些禽鸟就都被吃掉了，狐狸大丰收。或者说有一个人赌一把打出禽鸟，发现其实大家都不敢要那一堆饲料，反而大丰收。这种时候用来制约狐狸的小偷拍就要登场了。小偷牌在没有竞争对手的时候就可以当作是正常的禽鸟拿走饲料槽所有的饲料，面对禽鸟的时候只能是偷走一个一分的饲料就赶快走人，而面对狐狸的时候也会被抓住吃掉，但是狐狸却扣掉两分~这下小偷就可以去做投机取巧的搅局者了。可以小偷当禽鸟用，也可以让狐狸偷鸡不成蚀把米。

当所有的饲料都加完之后，游戏就结束了，谁的分最高就是胜利者。

这个游戏更多的是揣度对手的心理，看准时机钻空子大捞一笔，或者是打出饿狸扑食，不要让自己的狐狸无功而返，也不要让自己的禽鸟变成饿死鬼哦~

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牌的构成：

以色列麻将其实也可以看成是一种牌类游戏，一共106张牌，两张笑脸（类似扑克牌里面的Joker），红黑蓝绿四种颜色的1~13各两张。其实可以用两副完整的扑克牌去掉两张Joker来代替标准游戏牌。

出牌规则：

1.顺子，至少三个同色的连续数字组成的牌组，如同为红色的1，2，3，4；

2.同数，至少三个同数字但是颜色互不相同的牌组成的牌组，如红、蓝、黑的3；

3.重构，所有已经被打出的牌都是可以被利用的，即，如果你能将已打出的牌与自己刚刚打出的牌重新组织成同样符合前述两个规则的牌组群，那么你刚刚打出的牌就算是有效的，例如现在场面上有四色的9，四色的8，如果我手上有一张黑色的7，那么我可以从上面两张牌组中调出黑色的9和8，与我的7组成黑色的7，8，9，剩下的是红、蓝、绿的8和9，于是便从两个牌组变成了三个牌组。

4.惩罚，如果无法出牌或者选择不出牌就摸一张牌并跳过出牌，如果是出牌之后一阵忙活发现无法进行重构，摸三张牌并跳过出牌。

5.笑脸，那两张Joker（在标准的以色列麻将牌中是一红一黑两个笑脸）可以代表任意颜色的任意数字并入某一个牌组之中。如果你想再次利用被打出的Joker，那么只能打出与Joker所在位置完全吻合的手牌来替换之，否则只能在Joker所在的牌组两端添加牌构成顺子，无法从中截断。

游戏流程：

刚开始每位玩家拿14张牌，接着想办法决定第一个出牌的人（比如从牌库中随机抽牌比点数），逆时针按顺序出牌。这里有一个“破冰”的说法，即每位玩家的第一组打出的牌不能利用重构规则（即规则3），使得这组牌的点数相加大于等于30，如果无法达到破冰的要求，便只能摸牌了。当你完成破冰之后，就可以按照上述的出牌规则进行活动，谁先出完自己的牌就是胜利。有玩家胜利后便开始计分——这是一个零和游戏，所有输家扣去和剩余手牌点数之和相等的分数，而赢家得到所有他们扣去的分数之和。注意，笑脸算30分！

实例分析：

说了这么多不妨来分析一个游戏的片段，然后再看看我到底喜欢上了这个游戏的什么地方。

比如现在已经打出了的牌有：

顺子：

红：(5,6,7,8)

黑：(6,7,8),(10,11,12)

绿：(4,5,6)

蓝：(7,8,9,10,11)

同数：

(红黑蓝绿)

(4 ,4 ,4 ,  )

接下来我想打出一张蓝5，应该怎么办？

让我们来进行重构。如果我打出了蓝5，那么场上还有两个5给我组成一组同数，但是这样一来拆散了绿色的顺子，绿4落单了，我们可以将它并到场上已经存在的4的同数组。还有绿6，我们将红6和黑6都抽出来并成一组同数，这么一来却又多出了红和黑的7和8。没关系，我们将蓝色的7和8抽出来再并成两组同数就行了。经过这一轮重构，现在场面上的牌构成是：

顺子：

黑：(10,11,12)

蓝：(9,10,11)

同数：

(红黑蓝绿)

(4,4,4,4)

(5,   ,5,5)

(6,   ,6,6)

(7,7,7,  )

(8,8,8,   )

至少我来说，这样的重构过程是复杂而奇妙的——这也是这个游戏最大的乐趣所在！！由于规则4的存在，我们不能进行实际操作来尝试可能的重构方法，而是只能在脑海中对重构过程进行想象，这就极大地考验了观察力和记忆力。在实际的游戏中常常会出现比上述情况更加复杂的重构过程，有时候即使有可能存在一种重构方法，我们的大脑却在找到它之前便栈溢出了——每一个拆分过程就像是一个压栈的过程，重构成功便是递归完成，每一张拆分出来多余的牌都可以变成一个子问题继续进行重构，有时候一旦做出了一个牵涉到五六个牌组的重构时真是忍不住大呼过瘾！即使只是为了出一张牌，有时也会搅得场上风云突变，弄乱牌组可能也让你的下家无从下手~

在最后，大家如果找不到志同道合的好友一起游戏，不妨先来体验一下和电脑对战的快乐——这种程度的堆栈对于电脑来说就是小菜一碟，于是我现在还处于被电脑虐的状态……猛击此处下载

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一般这个游戏在2~10人之间依次进行（理论上说没有人数的上限，但是我最多好像也没有和超过10人玩这个游戏）。每个人手中都有相同数量的骰子，一般是4~6个，开始之前摇一摇~每个人只能看见自己的骰子点数。接着从某一个人开始——一般是上一局输了的人，第一个人要做的就是叫点数，格式是“X个Y”，意思就是你认为在所有玩家的骰子中至少有X个点数为Y的骰子，比如有人叫“6个3”，那么就是说他相信在这些玩家手中至少有6个骰子滚出了3点，其中X不能小于玩家数。每一个玩家叫完点就轮到下一个，此时下一个玩家有两种选择：继续叫点数或者是选择“开”。继续叫点数的规则如下：X不能小于上家的X；如果X比上家的大，那么Y只要是1~6就行了；如果X与上家的相等，那么Y就要大于上家的Y（规定此时1>6>5>4>3>2）。比如我的上家叫了5个4，那么我就可以叫5个5，5个6，或者6个2之类的。这个规则和升级或是桥牌中的叫主牌规则有点类似吧~如果玩家不继续叫点数，而是选择了“开”，那么他的意思就是不相信上家叫的数量，这时候所有的玩家都展示自己的骰子点数，清点一下现在的情况是否满足上家叫的数量，如果满足了，那么开的人就罚一杯酒，反之被开的人就被罚。

为了游戏的趣味性，规则当中还添加了一条十分重要的内容：点数为1的骰子可以当成任意点数——除非有人叫了“X个1”。这样一来如果我的手中有2个1点，1个3点，2个5点，那么我就相当于有3个3，同时又有4个5！——除非有人叫了“3个1”或者“5个1”之类带1的点数。这样一来变化就丰富了，即使两个人玩，你也不能马上猜到对方手中大概的点数分布情况。

规则就是这样，下文的分析都以没有叫“X个1”的情况为准。先举一个例子来说明一下游戏流程，免得有人看不懂我上面的描述- -同时下文也将以此进行分析。

假设3个玩家A，B，C，每个人手中有5个骰子。A手中是1,1,3,4,6；B手中是1,2,5,5,5；C手中是2,3,3,4,5。从A开始叫点数。

A：（其实3，4，6都可以，随便选了一个）4个3

B：（自己只有1个3，换一个数字探探C的手风如何）4个5

C：（一般犹豫一下）5个3

A：（见C好像也有3）6个3！

B：（见自己手中只有一个3——1此时可以当作3来看，于是一般犹豫一下）开！

（然后一清点，A手中有3个3，B手中有1个，C手中有2个，加起来正好6个，于是B杯具）

这正是比较典型的一局。理解了游戏流程后，我想提出的问题是：我们有哪些对自己有利的策略呢？

我们把复杂的心理学之类的问题忽略掉，那么这个游戏自然转化成了一个概率问题。假设一共有n个人在玩这个游戏，每个人手中有m只骰子，那么每个点数的平均数量就是m*n/6，再加上点数为1的数量，每个点数的平均数量应该是m*n/3。当我们在玩游戏的时候，自己手中的骰子点数是已知的，那么未知的点数平均数量就应该是m*(n-1)/3。再加上你手中该点数的实际数量，就得到了这个点数的数量期望。

如果假定骰子的点数满足二项分布（即只有是或者不是两种情况），那么可以计算得到：对于m*(n-1)<=61的情况来说，某点数的实际数量更有可能在期望±2个的范围内出现；当m*(n-1)<=22时则更有可能在期望±1个的范围内出现。这个震荡幅度的估计有助于我们进行叫点数时的决策，特别是第一个叫点的人，此时没有其他人的叫点信息，一般也观察不到什么《Lie To Me》等级的暗示，于是他只能通过数学的计算来给自己大概选择一条出路。——不知道有没有人会联想到，其实这个震荡幅度正是一个<50%的置信区间~只不过我们使用的模型改变了，从一个连续的模型（t-分布）转变成了一个离散的模型（二项分布）。通过对这个区间的掌握，我们可以更精确地控制叫点数的范围以及在一定程度上判断继续叫或者开。

在上面所举的例子中，n=3,m=5。对于A来说，3的数量期望应该是3+5*2/3约为6.3，而m*(n-1)=10<22，所以3点的数量更有可能出现在5~7之间，A如果叫5，假如B叫6，C叫7，A就比较难以决策了。所以A选择叫4点，虽然保守，但是不会导致轮一回转到自己的时候出现让自己尴尬的场面。注意到游戏每一次只会有一人受罚，所以说我们为了避免被罚，应该更多地考虑如何让自己叫到一个安全的点数而不是叫到一个正好踩线的点数。

以上便是数学层面的简单分析。但是只要是有人参与的游戏都不可死板地套用公式，人和人的较量总是会让局面变得更加难以控制。比如上例中B如果故意“错叫”了5个3，那么C可能以为A和B都有很多的3点，于是可能跳过6直接叫7个3，那么不是A杯具就是C杯具——如果A不开继续往上叫无疑就中了B的陷阱，B自然不会继续叫下去。也有可能A大胆往上叫第一下就直接开出6个3，B这时候就两难了。站在局外人的角度来看，B根据自己的骰子情况应该选择开，但是如果往上加一个变成7个3，反而会引诱C继续往上叫。恩……博弈论神马的好像准备冒泡了……打住。
我的简单介绍就到这里，任何游戏都还得亲自上阵，纸上谈兵都是没用的~希望大家玩得开心~

P.S:这篇文章中我给出了一个生活中的例子，其中小小地应用了一下置信区间，于是干脆就划分到了这个系列之中。另外我今天下午的6人5骰局就半个小时都没有被罚~当然其实这也和我上下家有点关系……上家是一个永远都8个9个起叫或者6个7个也开的傻孩子，下家是一个无论我叫什么都继续叫的傻孩子……笑~

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即使我不说，估计所有人都知道上图中唯一的空格应该填上38。除此之外，你还能发现什么规律么？

我能告诉你，至少还有一条规律是这样的：在大小上相邻的数字之间的位置也相差不远，都互相在对方的周围八格内，即，如果从1开始往下遍历数字，会发现从下一个数字总是在上一个数字的左右上下的或者对角方向的相邻位置上。

是的，这次我推荐的游戏就是这样的规则：让图中的数字能够从小到大连成一条不间断的线——不管是横的竖的还是斜的。游戏的名称叫做Hidato Adventure——Hidato是以色列数学家Dr. Gyora Benedek发明的有着如上述填数规则的数字游戏。先不妨玩一玩，看看下面这幅图你要花多久来填满？深黄色的格子是挖空的，不需要填。注意，有公共边或者公共顶点的格子都可以填入下一个数字哦~

这个游戏保证只有一个解，同时比数独灵活的地方就在于它的格子形状可以千奇百怪，在方格中间挖孔是最常见的方法，还有爱心形状的啊，骷髅形状的啊，只要你想得到就能够画得出——规则越简单，可能性就越多样。不过目前我还没有总结出什么比搜索更好的方法，剪枝也就是简简单单地先将所有的唯一解（包括填了唯一解后新产生的唯一解）填满，然后继续深搜……关于解题的其他新想法欢迎在下面留言讨论~~我的是在幻想游戏上下载下来的单机版本（名叫数列大冒险……），而这里是官网上提供的在线试玩地址（貌似只有一关~囧）。

上题的解法见下图：

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